第3章 机器人动力学

ching

2019/09/02 发布于 教育 分类

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1. 机器人引论 第3章 机器人动力学
2. 第3章 机器人动力学 o 3.1 动力学分析基础 o 3.2 机器人的静力分析 o 3.3 机器人动力学方程
3. 3.1 动力学分析基础 3.1.1 机器人的坐标系
5. 图3-1 机器人的坐标系
6. 3.1.2 工具的定位 S T T  BST 1 WBT WTT (3-1) 方程(3-1)在某些机器人系统中称为WHERE函数,用它可计算手臂的位 置。对于图3-1中情况,WHERE的输出是轴销相对于工作台顶角处的位姿。
7. 3.1.3 惯性张量和惯性矩阵 绕轴x、y和z的质量惯性矩分别为 I xx   ( y 2  z 2 ) dv   ( y 2  z 2 )dm v m I yy   ( z 2  x2 ) dv   ( z 2  x2 )dm v m I zz   ( x2  y 2 ) dv   ( x2  y 2 )dm v m 混合矩(称为惯性积):      I xy  v I yz v I zx v  yz  d v   zx  d v   xy  d v  m m m xyd m yzd m zxd m
8.  I xx  A I    I xy  I  xz  I xy I yy  I yz  I xz    I yz  I zz 
11. 3.1.4 连杆运动的传递 A P  A PB0  A B R B P B 速度: v P  v B 0  R v P  S  ω B  B R P A A A B B A A  B  R P  S  ωB  S  ωB  R B P 加速度: v P  v B 0  R v P  2S  ω B B R v P  S  ω B B A A A B B A A B A A B A A A
12. A 简化为: A v P  A v B 0  S ( A ω B ) BA R B P  B ) BA R B P  S ( A ω B )S ( A ω B ) BA R B P v P  A v BO  S ( A ω A 简化为: B 0 ωB  Aω A v P  A v BO  BA R B v P A v P  A v BO  BA R B v P
13. A A v P  BA R B v P  S ( A ω B ) BA R B P  B ) BA R B P  S( A ω B )S  A ω P  R B P v P  BA R B v P  2S  A ω B  R B v P  S( A ω A 微分得: A A B B ω C  A ω B  BA R B ω C A  C  Aω  B  BA R B ω  C  S  A ω B  R BωC ω A B
14. 下面利用Denavit-Hartenberg的连杆参数表示方法,依次递推出机 器人操作臂或者步行机器人运动腿各连杆的速度和加速度。 相邻两连杆速度的传递
15. o 1 旋转关节的速度传递 i ω i 1  i ω i  i 1i Rθ i 1 i 1 Z i 1 i v i 1  i v i  i ω i  i Pi 1 i 1 ωi 1  i 1 v i 1  i 1 i i 1 i R i ωi  θ i 1 i 1 Z i 1 R  i v i  i ωi  i Pi 1  o 2 移动关节的速度传递 i 1 ωi 1  i 1 i R i ωi i 1 v i 1  i 1 i R  i v i  i ω i  i Pi 1   d i 1 i 1 Z i 1
16. o 3 旋转关节的加速度传递 i 1  i 1  ω i 1 v i 1  i 1 i i 1 i  i  i 1i R i ω i  θ i 1 i 1 Z i 1   R iω θi 1 i 1 Z i 1  i  i Pi 1  iω i   iω i  i Pi 1  R  i v i  i ω  o 4 移动关节加速度的传递 i 1  i 1  ω i 1 v i 1  i 1 i i 1 i i R iω  i  i Pi 1  i ωi   i ωi  i Pi 1   R  i v i  i ω   i 1 Z  2 i 1 ωi 1  d i 1 i 1 Zi 1  d i 1 i 1
17. o 5 质心的加速度 i i v ci  i v i  i ω i  i Pci  i  i Pci  i ωi   i ωi  i Pci  υ ci  i υ i  i ω
18. 3.1.5 牛顿—欧拉动力学方程 o 刚体的运动可以分解为刚体质心的移动和刚体绕质心的转动。 应用牛顿-欧拉方程来建立机器人机构的动力学方程,是指相对 质心的移动用牛顿方程,相对于质心的转动用欧拉方程。 o 在移动和转动的刚体S上任选固定 在刚体上的一点O,将基准坐标系 的 原点移至点O上成为随行坐标系 ,随 行坐标系 随S移动,但不随S转动, 以便观察S相对坐标系 的转动运动。
20.  H Ax  ymA (vz  z )  zmA (v y  y )   H Ay  zmA (vx  x )  xmA (vz  z )  H  xm (v  y )  ym (v  x ) A y A x  Az 根据动量矩定理推出:   ω  (I  ω )  N  I ω (I为刚体的惯性张量) d mg (ρ × v ) dt
21.   ω  (I  ω ) N  I ω I yz  I zx  I xy  0   ω  (I m  ω )  N  Im  ω  I xx I m   0  0 0 I yy 0   ω  (I m  ω) N  Im  ω 0 0  I zz  d mg (ρ × v ) dt
22. 3.1.6 拉格朗日方程 L ( q , q )  E K ( q , q )  E P ( q ) Eki  1 1 mi vTci v ci  iiT ci I i ii 2 2
23. n Ek   Eki i 1 Ek (q, q )  1 T q D (q)q 2
24. E pi  mi 0 gT 0 pci n EP   EPi i 1 d L L τ  dt q q d EK EK EP τ   dt q q q
25. 3.2 机器人的静力分析 3.2.1 等效关节力和力雅可比 f  F   n  称为终端广义力矢量 将各个关节驱动力(或力矩)组成的n维矢量,称为关节力(矩)矢量。 τ   1  2 ...  n  T 若将关节力(矩)矢量看成是驱动装置的输入,在末端产生的广义力作为输出, 可以建立两者之间的关系。
26. 各关节所作的虚功之和为: w  τ Tδq   1 q1   2 q2  .........   n qn 末端操作器所作的虚功为: w  F T D  f x dx  f y dy  f z dz  nx x  ny y  nz z 关节空间虚位移产生的虚功等于操作空间虚位移产生的虚功: τ T δq = F T D D = J(q)δq 整理有:   J T ( q ) F 若不考虑关节之间的摩擦力,在外力F的作用下,操作臂或者运动腿保持平衡 的条件是关节驱动力矩满足上式
27. v = x  J(q)q
28. 我们将雅可比矩阵写成如下型式: x m1 = J mn q n1 J m n (3-68)  J11 J   21  ...   J m1 J12 J 22 ... J m1 ... J1 n  ... J 2 n  ... ...   ... J mn 
29. J T x = J T Jq q = [ J T J ]1 J T x
31. 3.2.2 连杆的静力学分析 连杆的静力平衡
32. 当连杆处于平衡状态时,力的平衡方程: i fi  i fi 1  mi i g  0 力矩平衡方程: i n  i n  i P  i f  i r  m i g  0 i i 1 i 1 i 1 ci i 对于旋转关节i,若不考虑关节中的摩擦,则除了绕轴的扭矩之外,其余各方向 的力和力矩分量都由机构构件承受。为了保持连杆平衡,关节驱动力矩平衡力矩 的Z向分量应该等于 : τ i  i nTi  i z i τ i  i fiT  i Z i
33. 3.3 机器人动力学方程 3.3.1牛顿—欧拉递推动力学方程 将机器人的连杆看成刚体,其质心加速度、总质量、角速度、角加速度、惯性 张量与作用力矩满足如下关系: 牛顿第二定律 (力平衡方程) fci  d  mi v ci  / dt  mi v ci 欧拉方程 (力矩平衡方程) n ci  d  c  i  ωi   c I iωi  I i ω i  / dt  c I i ω
34. o 1 力和力矩的递推算式 连杆i在运动情况下,作用在上面的合力为零,得力平衡方程式(暂时不考虑重力): i f ci  i fi  i 1i R i 1fi 1 作用在连杆i上的合力矩等于零,得力矩平衡方程式: i n ci  i n i  i 1i R i 1n i 1  i rci  i f ci  i Pi 1  i 1i R i 1fi 1 将上式写成从末端连杆向内迭代的形式: i fi  i ni  i i 1 i i 1 R i 1fi 1  i f ci R i 1n i 1  i n ci  i rci  i f ci  i Pi 1  i 1i R i 1fi 1 利用这些公式可以从末端连杆n开始,顺次向内递推直至到操作臂的基座。
35. 对于旋转关节,各关节上所需的扭矩等于连杆作用在它相邻连杆的力矩的Z轴分量 τ i  i nTi i Zi τ i  i fiT i Z i
36. o 2 递推的牛顿—欧拉动力学算法 综上所述,将递推计算过程的相关公式归纳如下: i 1 i  i 1 Z  R ω  θ  i i i 1 i 1 i 1 ωi 1   i 1 i  i R ωi  对于转动关节i  1 (对于移动关节i  1) i 1 i i 1 i i 1  i 1 Z     R ω  R ω  θ θ Z i 1  i i i i 1 i 1 i 1  i 1   i ω i 1 i i  i R ω (转动关节) (移动关节)
37.  i 1i R  i v i  i ω  i  i Pi1  i ω i   i ω i  i Pi1       i 1  i  i Pi 1  iω i   iω i  i Pi 1  v i 1   i 1i R  i v i  i ω   i 1 i 1  i 1 Z   2 ωi 1  d i 1 Z i 1  d i 1 i 1  i 1 v ci 1  i 1 (转动关节) (移动关节)  i 1  i 1 rci 1  i 1 ω i 1   i 1 ω i 1  i 1 rci 1  v i 1  i 1 ω i 1 fci 1  mi 1 i 1 υ ci 1 i 1 n c i 1  c i 1  i 1  i 1 ω i 1   c i 1 I i 1 i 1 ω i 1  I i 1 i 1 ω
38. i fi  i i i 1 ni  R i 1fi 1  i fci i i 1 R i 1ni 1  i nc i  i rci  i fci  i Pi 1  i 1i R i 1fi 1  i nTi i Zi τi   i T i  fi Zi o 3 计及重力的动力学算法 (转动关节) (移动关节)
39. o 4 封闭形式动力学方程的建立 以2R机械手为例说明建立封闭形式的动力学方程的一般方法和步骤。  1  m2l22 (1  2 )  m2l1l2 c2 (21  2 )  (m1  m2 )l121  m2l1l2 s222 2m2l1l2 s212  m2l2 gc12  ( m1  m2 )l1 gc1  2  m2l1l2 c21  m2l1l2 s212  m2l2 gc12  m2l22 (1  2 ) 2R平面机械手的质量分布
40. 3.3.2 关节空间与操作空间动力学 o 1 关节空间的状态方程 τ   1  2  T 则 q  1  2  τ  D(q)q  h(q, q )  G (q) l22 m2  2l1l2 m2 c2  l12 ( m1  m2 ) D( q )   2 l2 m2  l1l2 m2 c2 T (3-99) l22 m2  l1l2 m2 c2   2 l2 m2 
41.   m2l1l2 s222  2m2l1l2 s212  h( q, q )    2  m l l s   2 1 2 2 1   m2l2 gc12  (m1  m2 )l1 gc1  G (q)    m l gc  2 2 12 
42. o 2 形位空间方程 将(3-99)式中与速度有关的项分成两部分: h(q, q )  B(q )[q q ]  c(q )[q 2 ] 因而动力学方程可以写成另一种形式: τ  D( q ) q   B(q)[q q ]  C(q)[q 2 ]  G (q)
43. o 3 操作空间动力学方程 两个空间中的位移关系: X  X(q)  = J(q)q X  = J(q)q  + ar (q, q)  两个空间中的加速度关系: X 两个空间中的速度关系: 式中 ar (q, q )=   J(q)q  + U(q, q) 在操作空间中,动力学方程式可以写成: F = V(q)X  + P(q)
44. τ = J T (q)F 关节空间动力学方程与操作空间动力学方程具有以下关系:  D(q) = J T (q)V(q)J(q)   = J T (q)U(q, q)  + J T (q)V(q)ar (q, q)   h(q, q)  G(q) = J T (q)P(q)  (3-108) V(q) = J -T (q)D(q)J -1 (q)  = J -T (q)h(q, q)  - V(q)ar (q, q)  U(q,q) P(q) = J -T (q)G(q)
45. o 4 操作运动—关节力矩方程  + U(q, q) 操作运动—关节力矩之间的动力学方程: τ = J T (q)(V(q)X  + P(q)) 2  + B (q)[q q] 可以改写成如下的形式: τ = J T (q)V(q)X    + c (q) q x x   + G(q)
46. 3.3.3 拉格朗日方程的应用 以R—P机械手为例,说明采用拉格朗日方程建立机器人动力学方程的方法。    m 1 r1 2  m 2 r 2  2 m 2 r r  g co s  ( m 1 r1  m 2 r ) F r  m 2  r  m 2 r  2  m 2 g s in  将动力学方程写成更加一般的形式(将关节θ称关节 l,关节r称关节2)    D 1 1  D 1 2  r  D  2  D (惯 性 力 项 ) 2  r 122 (向心力项)  D 1 1 2 r  D 1 2 1 r (哥氏力项) 111  D1 Fr  D 2 1  D 2 2  r (重力项) (惯 性 力 项 )
47.    D 1 1  D 1 2  r  D  2  D (惯 性 力 项 ) r 2 (向心力项)  D 1 1 2 r  D 1 2 1 r (哥氏力项) 111 122  D1 F r  D 2 1  D 2 2  r  D  2  D (重力项) (惯 性 力 项 ) r 2 (向心力项)  D 2 1 2 r  D 2 2 1 r (哥氏力项) 211  D2 ( 7-6) 222 (重力项) ( 7-7)
48.  m 1 r1 2  m 2 r D 11 D 111  0 D 112  m 2r D 1 2 D D D 121 12 112  0  0  m 2r  g c o s  ( m 1 r1  m 2 r )  0 D 2 1 D 2 1 1   m D 2 1 2  0 D 2  m D 2 2 r 2 2 D D g s in   m 2 2 2 2 2 1 2  0  0
49. 3.3.4 多足步行机器人的动力学模型 W l  W n  Z    Z  其中 W  W l lT 1 W  Wl  lT 2 lT Z  diag( Z1 Z 2  Z n )  i i   0  mi I 33 Zi    0 0 0  0 J i  T W  W n nT 1 W nT 2  Wl  nT   diag( 1    n )  0     z   y  z 0 x y   x  0  T
50. o 1 完整约束方程 系统运动学约束关系为: l 方程的秩为:   0 r  6l   f i i 1 以拉格朗日乘子矢量函数形式的广义约束力矢量为:W o 2 关节空间运动变换    Tθ I l   t
51. F m  I (  )  C (  , )  F f  Fg o 3 多足步行机器人的动力学模型
52. o 4 机器人脚力问题 p  Fi  mo  ao  g   Fe i 1 p   ni  ci  Fi   I o o  o  I oo   ne  ce  Fe  i1
53. AG + W = 0 0 1 0 1  0 1  其中 A    1  1   1  1 2 p   W   F T  n1  F   1 G      np  F    p mo  ao  g   Fe  T M T      I     I   n  c  F   o o o e e e   o o i    ci  v  v , (i  1,, p )
54. 实际步行时机器人的脚底作用力必须满足相关物理约束条件:关 节驱动约束及摩擦约束。 o A 关节驱动的约束分析 o B 摩擦及有效接触的约束分析