第6章 机器人动力学

ching

2019/09/02 发布于 教育 分类

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1. 第6章 机器人动力学 机器人学简明教程 第6章 机器人动力学 6.1 刚体定轴转动与惯性矩 6.2 刚体的惯性张量 6.3 刚体的牛顿欧拉方程 6.4 拉格朗日方程 6.5 双足机器人动力学
2. 第6章 机器人动力学 6.1 刚体定轴转动与惯性矩 在物理学中,刚体定轴转动微分方程: I    (6-1) 式中,I称为绕固定轴的惯性矩(也称为转动惯量),τ是作 用在固定轴上的合外力矩。对于一个质量为m的质点,其在 直线上运动的动力学问题可以用牛顿第二定律描述: mv  f 或 mx   f (6-2) 比较式(6-1)和式(6-2)可以发现,刚体定轴转动和质 点直线运动的动力学方程的形式是完全相同的。因此,I可以 看成刚体定轴转动的惯性质量。
3. 第6章 机器人动力学 下面以图6-1所示质量为M,半径为r的均匀圆盘绕过圆 心的Z轴的惯性矩计算问题给出惯性矩的定义: I   r 2dm V (6-3) 式(6-3)给出了任意刚体绕固定轴惯性矩的定义,其中 dm是微元体质量,r是微元体到转轴的距离,V是刚体的体 积,因此式(6-3)表示在整个体积上积分。
4. 第6章 机器人动力学 图6-1 圆盘绕过圆心轴惯性矩
5. 第6章 机器人动力学 对于图6-1所示均匀圆盘,面密度ρ=M/(πR2),取极坐标微 元体,则 I   r 2 dm   V R 0  2 0 4 4 R M R 1 2 2 r  rdrd   2  2   MR 4  R2 4 2 (6-4) 例6-1 如图6-2所示匀质杆,质量为M,杆长为L,计 算绕质心的惯性矩。 图6-2 匀质杆绕质心惯性矩
6. 第6章 机器人动力学 解:匀质杆的线密度ρ=M/L,取微元体dx,则 I  L/2 L/2 x 2 dm  2  L/2 0 3 ( L / 2) x 2  dx  2  3 M L3 1 2   ML2 L 3  8 12 平行移轴定理:刚体绕任意平行于质心轴的惯性矩为 C I  I  Md 2 (6-5) 式中,CI表示刚体绕质心轴的惯性矩,M为刚体质量,d为两 轴之间的距离。若已知刚体绕质心轴的惯性矩,则刚体绕任 意平行轴的惯性矩可以非常方便地利用平行移轴定理式(6- 5)进行计算。
7. 第6章 机器人动力学 例如,计算图6-2所示匀质杆绕杆端点的惯性矩,根据平行 移轴定理 1 L 2 1 2 2 I  I  Md  ML  M ( )  ML 12 2 3 C 2 (6-6) 可以验证,式(6-6)计算结果与采用积分方法相同。
8. 第6章 机器人动力学 6.2 刚体的惯性张量 对于在三维空间自由运动的刚体,存在无穷多个可能转 轴,计算绕所有转轴的惯性矩显然是不现实的。因此需要考 虑这样的问题:是否存在一个量,它能够表示刚体绕任意转 轴的惯性矩?答案是肯定的,该量就是刚体的惯性张量。惯 性张量描述了刚体的三维质量分布,若在某坐标系下表示出 来,它就是一个3阶对称矩阵。图6-3所示的一个刚体,其 上定义了固连的坐标系{A}。
9. 第6章 机器人动力学 图6-3 空间刚体的惯性张量
10. 第6章 机器人动力学 在坐标系{A}中惯性张量为  I xx  A I    I xy   I xz   I xy I yy  I yz  I xz    I yz  I zz  (6-7) 惯性张量是一个对称矩阵,各元素的值为 I xx    y 2  z 2  dv V I xy   xy dv V I xz   xz dv V I yz   yz dv I yy    x2  z 2  dv I zz    x2  y 2  dv V V V (6-8)
11. 第6章 机器人动力学 惯性张量中Ixx、Iyy和Izz称为惯性矩,交叉项Ixy、Ixz和Iyz 称为惯性积。显然,惯性张量中元素的数值与坐标系的选择 有关,一般存在某个坐标系,使得交叉项全为0,该坐标系 称为惯性主轴坐标系,坐标轴称为惯性主轴。对于质量均匀 分布的规则物体,惯性主轴就是物体的对称轴。
12. 第6章 机器人动力学 例6-2 如图6-4所示质量均匀分布的长方形刚体,密 度为ρ,质量为M,计算其惯性张量。 图6-4 质量均匀分布的长方形刚体
13. 第6章 机器人动力学 解:单元体dv=dx dy dz,根据式(6-8)得: I xx    y  z  dv    2 2 V  W  H 0  y L 0 2 z 2    y  z  dx dy dz  dy dz W  L / 3  Lz dz H L W 0 0 0 2 2 H 3 2 0  HL3 LH 3  M 2 2  W    ( L  H )  3  3  3 同理可以得到另外两个惯性矩 M M 2 2 I yy  (W  H ), I zz  (W 2  L2 ) 3 3
14. 第6章 机器人动力学 下面计算惯性积 I xy   xy dv    0 V  W 2 L2 H  H dz  L   0 W 0 xydxdydz    W 2 L2 H H 0  L 0 yW 2 / 2dydz M  WL 4 4 4 同理可以得到另外两个惯性积 M M I xz  WH , I yz  HL 4 4 至此,我们已经计算出了式(6-7)中的所有6个分量的值。 0 对于惯性张量的计算问题,平行移轴定理也是成立的,下面 给出其中两个表达式,其余的4个表达式与此类似: A A I zz  C I zz  M ( xc2  yc2 ) C I xy  I xy  M ( xc yc ) (6-9)
15. 第6章 机器人动力学 例6-3 如图6-4所示,求质量均匀分布的长方形刚体 在质心坐标系(原点位于质心,坐标系姿态与原坐标系姿态 相同)下表示的惯性张量。 解:根据平行移轴定理式(6-9)计算,其中 因此得  xc  W  y   1  L   c 2    zc   H  M 2 L W M 2 ( L  W 2 )  M [( ) 2  ( ) 2 ]  (L  W 2 ) 3 2 2 12 M L W C I xy  A I xy  M ( xc yc )  WL  M (  )  0 4 2 2 C I zz  A I zz  M ( xc2  yc2 ) 
16. 第6章 机器人动力学 其他4个值可以采用类似的方法获得。在质心坐标系{C} 下,刚体的惯性张量为  H 2  L2 0 M C 2 2 I 0 W  H 12   0 0  0   0  L2  W 2  (6-10) 结果是对角矩阵,此时坐标系{C}的坐标轴是刚体的惯性主轴。
17. 第6章 机器人动力学 6.3 刚体的牛顿-欧拉方程 下面介绍描述单个刚体动力学的牛顿-欧拉方程。如图 6-5所示,机械臂的一个连杆的动力学问题可以简化为单刚 体动力学问题。在动力学分析过程中,把刚体的运动分解为 质心的平移运动和绕质心的转动。一般将连体坐标系的原点 固定在刚体的质心,这样坐标原点的运动描述刚体的平移运 动,坐标系的转动描述刚体绕质心的旋转运动。
18. 第6章 机器人动力学 图6-5 单刚体动力学
19. 第6章 机器人动力学 刚体质心的平动用牛顿第二定律描述 F  M vc (6-11) . 式中,M表示刚体质量;F表示作用在刚体上的合外力矢量;vc 表示质心速度矢量。 N  CI ω  ω  CI ω (6-12) 式中,CI表示刚体在质心坐标系{C}下表示的惯性张量;N表示 . 作用在刚体上的合外力矩矢量;ω表示角速度矢量;ω表示角 加速度矢量。 式(6-11)和式(6-12)一起称为刚体的牛顿欧拉方 程。分析机械臂的动力学问题时,首先对每个连杆列出牛顿 欧拉方程,同时需要分析连杆间的速度、加速度传递关系以及 力的传递关系。上述分析过程比较复杂,有兴趣的读者可以参 考文献[1]。
20. 第6章 机器人动力学 6.4 拉格朗日方程 上节介绍牛顿欧拉方程是采用几何矢量方法建立每个 连杆的动力学方程,方程中会出现约束力项。拉格朗日方程 采用解析方法建立系统的动力学方程,在理想约束条件下, 动力学方程中不出现约束力项。 定义拉格朗日函数 L=K-P (6-13) 式中,K是系统动能;P是系统势能。 系统动力学方程为 d L L Fi  ( )  , i  1, 2, , n dt qi qi (6-14)
21. 第6章 机器人动力学 式中,qi是描述系统位置的坐标,称为广义坐标;Fi是作用 在qi上的广义力。分量形式的方程式(6-14)也可以写成矢量 形式  L  L d F    dt  q  q (6-15) 式(6-14)或式(6-15)称为第二类拉格朗日方程。
22. 第6章 机器人动力学 例6-4 如图6-6所示单摆由一根无质量杆末端连接一 集中质量m,杆长为l,其上作用力矩τ,试建立系统的动力 学方程。 图6-6 单摆
23. 第6章 机器人动力学 解:(1)牛顿欧拉方法。单摆运动可以简化为刚体的定 轴转动,其动力学方程为 I  N 转动惯量和合外力矩计算如下 I  ml 2 N    mgl sin  因此,系统的动力学为 ml 2  mgl sin   
24. 第6章 机器人动力学 (2)拉格朗日方程。选择θ为描述单摆位置的广义坐标, 先用广义坐标表示集中质量的位置,然后再对时间求导得到 速度 x  l sin  , y  l cos  x  l cos  , y  l sin  系统的动能为 1 m 2 m 2 2 1 K  mv 2  x  y 2  l  cos 2   l 2 2 sin 2   ml 2 2 2 2 2 2    取坐标原点为势能零点,则系统的势能为 P  mgy  mgl cos  
25. 第6章 机器人动力学 系统的拉格朗日函数为 L  K  P  1 ml 2 2  mgl cos  2 根据式(6-14)计算相应的导数 d  L  d 2  2   ml   ml    dt    dt L  mgl sin     代入到拉格朗日方程得系统的动力学方程   m    mg  sin  2
26. 第6章 机器人动力学 例6-5 如图6-7所示两连杆平面机械臂。连杆长分别 为L1和L2,连杆质量分别为m1和m2,质心到杆端点距离分别 为Lc1和Lc2,两连杆绕质心转动惯量分别为Ic1和Ic2,两个关 节上作用驱动力矩分别为τ1和τ2,试建立系统的动力学方程。 图6-7 两连杆平面机械臂
27. 第6章 机器人动力学 解:非定轴转动刚体的动能表示为质心平移动能和绕质 心转动动能之和 1 2 1 K  mvc  I c 2 2 2 其中,vc是质心速度的大小,ω是刚体的角速度。因此,两连 杆的动能分别为 1 1 2 K1  m1vc1  I c112 , 2 2 1 1 2 K 2  m2 vc 2  I c 222 2 2 选择θ1和θ2为描述连杆位置的广义坐标,先用广义坐标表示 质心的位置, xC1  Lc1c1 , yC1  LC1s1 xC 2  L1c1  LC 2 c12 , yC 2  L1s1  LC 2 s12
28. 第6章 机器人动力学 再对时间求导得到质心的速度 xC1   LC1s11 , y C1  LC1c11 xC 2   L1s11  LC 2 s12 1  2 ,   两连杆的转动角速度分别为 1  1 , 2  1  2 因此,两连杆的动能为  y C 2  L1c11  LC 2 c12 1  2 
29. 第6章 机器人动力学 1 1 2 1 2 2 K1  m1  xC 1  yC 1   IC 1 1   IC 1  m1 L2C 1 12 2 2 2 2 1 1 2 2   K 2  m2  xC 2  yC 2   IC 2  1  2 2 2 2 1  2 2 1 2        m2 L11  LC 2 1   2  2 L1 LC 2 c21 1   2  IC 2 1  2  2 2  1 1 2 2 2      I C 2  m2  L1  LC 2  2 L1 LC 2 c2   1   I C 2  mL2C 2  22 2 2   I C 2  m2 L2C 2  m2 L1 LC 2 c2 12        系统的总动能可以表示为 1 T 1    M11 K  K1  K 2  q Mq  1  2   2 2  M 21 M12  1     M 22   2   2
30. 第6章 式中, 机器人动力学 M11  I C1  I C 2  m1 L2C1  m2  L12  L2C 2  2 L1 LC 2c2  M 21  M12  I C 2  m2 ( L2C 2  L1 LC 2c2 ) M 22  I C 2  mL2C 2 取固定在基座处的坐标原点为势能零点,系统的总势能为 P  m1 gLC1s1  m2 g ( L1s1  LC 2 s12 ) 系统的拉格朗日函数为 LK P
31. 第6章 机器人动力学 直接代入到拉格朗日方程式(6-14),即可得到系统的动力 学方程。当然,导数的计算过程是比较复杂的。下面分析方 程的结构。 d  L  L d  K  P K  q   q   q   q  q dt     dt      d P K   M  q  q    q dt  q 1 T M P   q  Mq  M  q q  q 2  q 拉格朗日方程可以表示为 M (q)q  C (q, q )  G  τ
32. 第6章 机器人动力学 式中,M是对称正定质量矩阵;C是离心力和柯氏力项;G 是重力项。C和G如下: 1 T M  C  Mq  q q q ,  2 G  P q 下面计算各量的具体值, K   1 q T M q  0 1 2 1 K  1     2m2 L1 LC 2 s2  2 2  1 2    m2 L1 LC 2 s2   m L L s  2    2 1 C2 2  1 1 2   m2 L1 LC 2 s2  1     0   2 
33. 第6章 机器人动力学    2 m L L s  2 1 C 2 2 2 M q     m L L s  2 1 C 2 2 2   m2 L1 LC 2 s22  1    0   2   2       m L L s 2        2 1  1 2 1 C2 2 1 2 2     m2 L1 LC 2 s2 2      1 0   2    m2 L1 LC 2 s212  2      2     1 T M 1 2 2      C  Mq  q q  m2 L1LC 2 s2 q 2  12 P  m1 LC1c1  m2 LC 2 c12  g  G   q   m2 LC 2 c12 g     
34. 第6章 机器人动力学 例6-6 如图6-8所示在竖直平面内运动的小车倒立摆 系统,假设小车质量为M,倒立摆连杆长度为L,末端集中 质量为m,重力加速度为g,忽略连杆质量和转动惯量。选 择图中给定的坐标系,用广义坐标(x和θ)表示小车中心和倒 立摆集中质量的位置,试计算系统的动能和势能,并采用拉 格朗日方法建立系统的动力学方程。
35. 第6章 机器人动力学 图6-8 小车倒立摆系统
36. 第6章 机器人动力学 解:先用广义坐标表示两个集中质量的位置,然后计算 其速度  xM  x   yM  0  xm  x  L sin    ym  L cos  系统的动能为  xM  x   y M  0  xm  x  L cos     y m   L sin  1 1  2 2 2    K  M ( x  y )  Mx M M M  2 2  1 1 2 2 2 2 2    K  m ( x  y )  m ( x  L   2 Lx cos  ) m m m  2 2   K  K M  K m  1 (M  m ) x 2  1 mL22  mLx cos   2 2
37. 第6章 机器人动力学 取y=0为势能零点,则P=mgLcosθ,将L=K-P代入拉格朗日方 程得 d  L  L F    dt  q  q ( M  m)  x  mL cos   mL 2 sin   F  2  mL   mL cos   x  mLg sin   0 
38. 第6章 机器人动力学 6.5 双足机器人动力学 日本的类人机器人ASIMO和HRP-2P代表了双足机器 人研究的最高水平。机器人一般采用零力矩点 (ZeroMomentPoint,ZMP)方法规划机器人关节的轨迹,然 后通过控制伺服电机使机器人的关节跟踪规划的轨迹。该方 法的主要缺点是计算非常复杂,同时和人类行走相比需要消 耗非常多的能量。
39. 第6章 机器人动力学 图6-9所示的被动行走(PassiveDynamicWalking, PDW)机器人不需要外部的能量输入,可以在重力的作用 下稳定地走下小的斜坡。在行走的每一步,机器人从重力势 能的变化中获取能量,脚与地面的冲击作用耗散机器人的能 量。如果初始条件和坡度的组合适当,每一步获取的能量和 耗散的能量恰好平衡,就可以得到稳定的双足被动行走步态。 双足被动行走步态设计通常采用牛顿迭代算法,对于给定的 坡度和机器人模型,确定机器人运动的初始条件。
40. 第6章 机器人动力学 图6-9 两连杆双足机器人
41. 第6章 机器人动力学 1.腿摆动阶段动力学模型 图6-10给出了双足机器人腿摆动阶段的简图,忽略转 动惯量的影响。支撑腿与铅垂线夹角为θ1,摆动腿与铅垂线 夹角为θ2,假设a=b=l/2,其中l为腿的长度。可以采用和前 面相同的方法建立双足机器人的动力学方程。
42. 第6章 机器人动力学 图6-10 腿摆动阶段动力学
43. 第6章 机器人动力学 集中质量的位置和速度为       x1   2 s1  x1   2 c1 1    y   c  y    s  1 1  1 2 1  1 2  x h  c11  xh  s1     y h  s11  yh  c1        x2  s1  2 s2  x 2  c1 1  2 c2 2     y  c   c  y  s    s  1 2 1 1 2 2  2  2 2 2
44. 第6章 机器人动力学 系统的动能 2  1 1 m  K1  m  x12  x12    2 2 4 2  1  Kh  1 1 mh  xh2  yh2  mh 212 2 2 2   1 1  K 2  m  x 22  y 22   m  212  22   2 cos   1  2 12  2 2  4  1  1   K  K1  K 2  Kh   1  1  M   2 2    5m  2 1   m cos 1  2     mh  4   2   M   1 2  1 2  m   2 m cos 1   2   4
45. 第6章 机器人动力学 取腿支撑点为势能零点,系统势能为 mg     3  m  P c1  mh g  c1  mg   c1  c 2    mh  m  g c1  gc2 2 2   2  2  计算对时间导数,  M  0  1   对称 1 2  m sin 1   2   2  0   0   M  对称 1    m 2 sin 1   2   M  0  2    2 0  对称  1 2 m sin 1   2  1  2 2 0      
46. 第6章 机器人动力学 1 2  2 m sin 1   2  1  M T C  M q  q q q   2   1 m 2 sin     1 2  2  1 2 2   m  sin       1 2 2   2   1  m 2 sin      2  1 2 1  2  1 2    m  sin       1 2 2 1 2 1 2  2   1 1  2 1    m 2 sin 1   2  12    2           3     mh  m  gs1   P 2   G   q  1   2 mgs2  最后得到腿摆动阶段的动力学方程: M (q)q  C (q, q )  G  0 (6-17)
47. 第6章 机器人动力学 2.地面瞬时冲击 假设地面冲击作用是瞬时的,采用下面假设 (1)冲击是完全塑性的; (2)冲击的同时完成支撑腿与摆动腿的转换; (3)冲击时腿与地面之间没有滑动。 根据动量矩守恒可以得到冲击前后的速度关系 Q  ( )θ   Q  ( )θ  (6-18) 式中,α=(θ-1-θ-2)/2;上标“-”和“+”分别代表冲击前和冲 击后的相应量。  ml 2  cos(2 )  2 Q  ( )   2  5ml 2 ml 2 (  m l cos(2 )  H )  4 2  ml 2  4  2 2  ml ml  cos(2 )  4 2  (6-19)
48. 第6章 机器人动力学  ml 2   4 Q  ( )   2  ml 2  (m  mH )l cos(2 )   4  0   2 ml    4  (6-20) 冲击结束后,两腿的角色互换,因此有 θ+1=θ-2,θ+2=θ-1。定义摆动腿末端到行走平面的距离 ytip  l[cos(1   )  cos( 2   )] (6-21) 对时间求导可以得到 ytip  l[2 cos( 2   )  1 cos(1   )] (6-22)
49. 第6章 机器人动力学 冲击时应该满足以下条件: (1)(θ2>θ1),摆动腿在支撑腿之前。 (2)(ytip=0),摆动腿与地面接触。 . (3)(ytip<0),摆动腿的末端向下运动。
50. 第6章 机器人动力学 3.周期步态与极限环 定义状态变量 x  [θ , θ ]T ,考虑没有力矩输入的被动行走, 双足机器人的行走模型由式(6-17)~式(6-20)组成一个混合 系统:  x  f ( x ) swing   x (0)  x0 x   h( x  ) events
51. 第6章 机器人动力学 式中,“swing”表示腿摆动阶段;“events”表示腿与地面冲击; “-”和“+”分别代表冲击前和冲击后的状态变量。双足机器人 的周期步态对应系统的周期,解x(t)=x(t+T)中T是步态的周期。 系统式(6-23)的解可以表示为x(t)=φ(x0,t),如果存在x*和时间T 使得x*=φ(x*,T),则x(t)=φ(x*,t)是一个周期解。对于二维状态 空间,周期解对应于一个闭环,如果周期解是孤立的,称其为 极限环。若从极限环附近出发的解收敛到极限环,则称极限环 是稳定的。双足机器人周期被动行走步态对应于系统式(6-23) 的稳定极限环。
52. 第6章 机器人动力学 搜索极限环的一种方法是确定系统的初始状态x*和周期 T,使得x*=φ(x*,T)。确定周期解的常用方法是庞加莱映射, 具体方法是选择庞加莱截面Γ使系统式(6-23)的解曲线与之 相交。可以得到庞加莱映射(见图6-11) Xi+1=p(xi) (6-24) 极限环对应庞加莱映射的不动点 x i  p ( x i ) 。通过庞加莱映射 技术,极限环搜索转换成解非线性方程组式(6-24)问题。定 义 r ( x i )  p( x i )  x i ,可以使用牛顿(Newton)法求方程组(6 -24)的根 x i 1  x i  [ Dx r ( x i )]1 r ( x i ) (6-25)
53. 第6章 机器人动力学 图6-11 庞加莱映射示意图
54. 第6章 机器人动力学 图6-12和图6-13给出了斜坡角度¢为1°、3°和5°时, 支撑腿和摆动腿的相平面图。从图中可以看出,机器人行走 的步长和行走速度随着斜坡角度的增加而增加。然而,理 论和实践都已经表明,当斜坡角度增大到一定值时,机器 人不存在周期行走步态。
55. 第6章 机器人动力学 图6-12 非支撑腿极限环
56. 第6章 机器人动力学 图6-13 支撑腿极限环