第5章 速度与静力学关系

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2019/09/02 发布于 教育 分类

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1. 第5章 速度与静力学关系 第5章 机器人学简明教程 速度与静力学关系 5.1 速度的符号表示 5.2 刚体的线速度和角速度 5.3 机器人连杆间速度传递 5.4 机器人雅可比矩阵 5.5 机器人静力关系
2. 第5章 速度与静力学关系 5.1 速度的符号表示 图5-1给出了矢量Q在坐标系{B}下的表示BQ, 以{B} 为参考系可以得到Q点相对{B}的速度矢量, 即矢量Q的微 分 B B Q t   t  Q t    d B B VQ  Q  lim t  0 dt t (5-1) 假设Q点相对于坐标系{B}固定, 即不随时间变化, 则式 (5-1)的微分结果为零, 即使它相对其他坐标系是变化 的。 速度矢量在坐标系{A}下可表示为 A  VQ   BA R  BVQ  B (5-2)
3. 第5章 速度与静力学关系 图5-1 矢量表示
4. 第5章 速度与静力学关系 因此, 点的速度描述通常取决于两个坐标系: 一个是进行微 分的坐标系(物理学中的参考系), 另一个是描述该速度 矢量的坐标系。 若两个坐标系相同, 如都是坐标系{B}, 则外层上标可以省略。 经常使用的情况是一个坐标系原点相对固定的世界坐标 系{U}的速度, 这种情况下定义缩写符号 vC=UVCO (5-3) 式(5-3)表示坐标系{C}原点速度, 参考系为{U}。 采用 该缩写符号, 则该速度在坐标系{A}下表示为AvC, 但需要 说明的是, 它是相对固定(世界)坐标系 {U}的速度。
5. 第5章 速度与静力学关系 图5-2所示为角速度矢量表示。 角速度矢量用Ω表示, 描述刚体的旋转运动。AΩB表示坐标系{B}相对于{A}的旋转 角速度矢量, 方向代表转轴,大小表示转动速度值。 相对 于固定参考系{U}的角速度可省略参考系符号, 例如坐标系 {C}的角速度可以表示为 C U C (5-4) 式中,ωC是角速度矢量在{A}下的表示, 但角速度观测是 相对于{U}的。
6. 第5章 速度与静力学关系 图5-2 角速度矢量表示
7. 第5章 速度与静力学关系 5.2 刚体的线速度和角速度 1. 线速度 如图5-3所示, 坐标系{B}固连在刚体上, 要求描述Q 相对{A}的运动。 已知坐标系{B}相对坐标系{A}的描述 A A A , 并假设 不随时间变化, 则  B  B R , p B BR   0 Q  A p B0  BA R BQ  BA R BQ A A A A B B VQ  VB0  R VQ (5-5) 式(5-5)只适合坐标系{B}相对{A}位姿不变, 即刚体只 做平移运动而没有旋转的情况。
8. 第5章 速度与静力学关系 图5-3 Q相对(A)的运动
9. 第5章 速度与静力学关系 2. 角速度 当AΩB ≠0即刚体存在旋转运动时, 公式推导比较复杂。 下面只给出结果: Q  A p B0  BA R BQ  BA R BQ  AVQ  AVB0  BA R BVQ  A ΩB  BA R BQ A (5-6) 例5-1 如图5-4所示,机器人质心沿XA轴以1m/s速度 移动,同时绕质心以1rad/s角速度转动,半径r =0.5m,求下 边缘点Q的速度。
10. 第5章 速度与静力学关系 图5-4 圆盘机器人
11. 第5章 速度与静力学关系 解: 在坐标系{A}下机器人中心速度AVBO=1 m/s,Q点相 对坐标系{B}静止,所以BVQ=0,矢量AQ垂直向下。机器人 转动速度大小AΩB=1rad/s,方向沿ZA轴, A ΩB  AQ  r A  B X A  0.5m/s( X A ) 代入到式(5-5)得Q点相对坐标系{A}的速度 A VQ  AVB0  BA R BVQ  A ΩB  BA R B Q  AVB0  A ΩB  AQ  1  0.5  1.5m/s 结果与我们的直观理解相同。
12. 第5章 速度与静力学关系 5.3 机器人连杆间速度传递 一般选基座参考系{0}作为参考系, vi表示坐标系{i}原 点的线速度, ωi表示坐标系{i}的角速度(都是相对参考系{0} 的)。  机械手的各连杆的速度可以从基坐标系{0}开始依次计 算。 如图5-5所示, 连杆速度用线速度vi和角速度ωi描述, 矢 量用{i}描述比较方便。
13. 第5章 速度与静力学关系 图5-5 连杆速度表示
14. 第5章 速度与静力学关系 同时,将相邻连杆的速度矢量用同一坐标系表示,则速 度可以相加。连杆i+1的角速度等于i的角速度加上连杆i+1关 节旋转引起的角速度(相对坐标系{i})。图5-6所示为连 杆间速度传递关系。 图5-6 连杆间速度传递
15. 第5章 速度与静力学关系 在坐标系{i}下,连杆i+1的角速度表示为 ωi 1  i ωi  i 1i Ri 1 i 1 Z i 1 i 在式(5-7)两端同乘 i 1 i i 1 ωi 1  (5-7) R ,得 i 1 i R i ωi  i 1 i 1 Zi 1 (5-8) 由式(5-6)得连杆i+1的线速度 i i i i vi 1  vi  ωi  pi 1 (5-9) 在坐标系{i+1}下表示为 i 1 vi 1  i 1 i R  i vi  i ωi  i pi 1  (5-10)
16. 第5章 速度与静力学关系 例5-2 图5-7所示为两连杆机械臂,坐标系{0}~{3} 给定,计算各连杆速度。 图5-7 两连杆机械臂
17. 第5章 速度与静力学关系 解:坐标系间的旋转矩阵为  c1 s 0 R  1 1  0  s1 0  c1 0  , 0 1   c2 s 1 R  2  2  0  s2 c2 0 0 0  , 1  连杆1的速度为 1 0 0  0 1 0 2 R  3    0 0 1  0  0    1 ω1  0  , 1v1  0    0   1 根据式(5-8),可以计算连杆2的角速度为 0  0  2  ω2  12 R 1ω1  0   0        2  1 2
18. 第5章 速度与静力学关系 根据式(5-10),可以计算连杆2的线速度为  c2 2 v2  12 R  1v1  1ω1  1 p2     s2  0 s2 c2 0 0 0   L1s21        0  L11    L1c21   1  0  0   坐标系{3}和{2}固连在一个连杆上,所以3ω3=2ω2。 根据式(5-10),可以计算坐标系{3}原点的线速度为 3 v3  23 R  2 v 2  2 ω2  2 p3   L1s21   0       L1c21    L2 1  2 0     0  L1s21         L1c21  L2 1   2    0           
19. 第5章 速度与静力学关系 坐标系{3}原点的线速度在基坐标系下表示为  c12 s 0 0 1 2 R  R R R  3 1 2 3  12  0 0 0  1   s12 c12 0    L1s11  L2 s12 1  2  0 0 3 v3  3 R  v3   L1c11  L2 c12 1  2  0        
20. 第5章 速度与静力学关系 5.4 机器人雅可比矩阵 给定m个多元函数(其中x是t的函数)  y1  f1  x1 , x2 , , xn    y2  f 2  x1 , x2 , , xn     y  f  x , x , , x  m 1 2 n  m (5-11)
21. 第5章 速度与静力学关系 计算函数对时间的导数得 f1 f1 f1      y1  x  x1  x  x2    x  x n 1 2 n  f 2 f 2 f 2   x1   x2     x n  y 2  x1 x2 xn    f m f m f m     y   x   x     xn  m x 1 x 2 xn 1 2  (5-12) 写成向量形式 y  J  x  x (5-13)
22. 第5章 速度与静力学关系 J(x)称为雅可比矩阵,维数为m×n,一般情况下是时变的, 其表达式如下:  f1  x  1  f 2 J ( x )   x1    f m  x1 f1 x2  f 2 x2   f m x2   f1  x n   f 2  x n     f m  x n  (5-14) 将式(5-13)应用于机械臂 vˆ  J  θ  θ (5-15)
23. 第5章 速度与静力学关系 式中,v̂ 是笛卡尔速度矢量;θ是关节角。对于6关节机械臂 v  vˆ    ω (5-16) 即笛卡尔速度矢量表示机械臂末端的线速度和角速度。式 (5-15)通过雅可比矩阵建立了机械臂末端笛卡尔空间速 度和关节空间速度之间的关系。假设雅可比矩阵J(θ)可逆, 得 θ  J 1vˆ (5-17) 如果给定笛卡尔空间期望速度 vˆ (t ) ,则式(5-17)是关于关 节角的常微分方程组。给定关节角的初值,式(5-17)的解 即为期望的关节角轨迹。一般不能求出式(5-17)的解析解, 可以采用数值方法获得近似解。
24. 第5章 速度与静力学关系 例5-3 图5-7所示为两连杆机械臂,建立机械臂末端 速度与关节速度的关系,并计算末端沿X0轴以1m/s速度运动 时两个关节的速度。 解:采用几何方法求解该问题。机械臂末端在固定坐标 系下的位置和速度为    L s      x   L s  x  L c  L c 1 1 1 2 12 2 1   1 1 2 12    y  L1s1  L2 s12  y  L1c11  L2c12 1  2    因此,根据式(5-14),可以计算出雅可比矩阵 x x    L1s1  L2 s12 ,   L2 s12  1  2   L1s1  L2 s12    J     y y  L1c1  L2 c12  L1c1  L2 c12 ,  L2 c12   1  2  L2 s12  L2 c12 
25. 第5章 速度与静力学关系 机械臂末端速度与关节速度的关系为 1   L s  L s  L s    x  1 1 2 12 2 12 v     Jθ       L c  L c L c y    11 2 12 2 12    2   1  L1s1  L2 s12   2 L2 s12      1  L1c1  L2 c12    2 L2 c12  该结果与前面直接的导数计算结果完全相同。因此,可以采 用直接计算位置对时间导数的方法得到雅可比矩阵。下面根 据式(5-15),得出机械臂关节速度与末端速度的关系。首 先计算雅可比矩阵行列式的值,然后采用伴随矩阵计算雅可 比矩阵的逆:
26. 第5章 速度与静力学关系 J   L1 L2 s1c12  L22 s12 c12  L1 L2 c1 s12  L22 s12 c12  L1 L2  s12 c1  c12 s1  L1 L2 s2 1 J ( )  L1 L2 s2 1 L2 c12   L c  L c  11 2 12 L2 s12   L1s1  L2 s12   c12  L s  1  1 2 v     θ  J 1v    c2   c1 0  L s  L s   2 2 1 2 因此,当θ2→0时,关节角速度→∞。本例题表明,雅可比矩阵 可能存在奇异问题,此时期望的末端速度无法实现,实际应用 中必须避免。
27. 第5章 速度与静力学关系 5.5 机器人静力关系 为了方便地得到机器人静力关系,下面简要介绍虚功原 理以及相关的基本概念。 (1)约束:对质点系位置或速度的限制条件称为约束。 例如图5-8(a)所示的单摆,刚性杆长为l。摆锤受到 的限制条件为 x2+y2=l2 (5-18) 图5-8(b)所示的纯滚动轮子。轮心移动速度与轮子转 动角速度之间的限制条件为 v  r  0 (5-19)
28. 第5章 速度与静力学关系 图5-8 约束例子
29. 第5章 速度与静力学关系 (2)约束力:由于约束而使物体受到的力。 例如图5-8(a)所示的单摆摆锤受到的力F,图5-8(b) 所示的地面对轮子的支持力N,以及图5-8(c)所示的铰链对 连杆的作用力F等。 (3)虚位移:质点(质点系)满足约束的无限小位移,称 为虚位移。 例如图5-8(c)所示的铰链B的虚位移可以在两个方向上, 用δr表示。
30. 第5章 速度与静力学关系 (4)虚功:力在相应虚位移上做的功,称为虚功。 w = Fr (5-20) (5)理想约束:若质点系约束力在任意虚位移上所做虚 功之和为零,则称质点系受理想约束。 (6)虚功原理:在理想约束条件下,质点系平衡的充要 条件是主动力在任意虚位移上所做虚功之和为零。 虚功原理是质点系静力学平衡和动力学分析的理论基础。
31. 第5章 速度与静力学关系 例5-4 如图5-9所示杠杆,杆端A受到力FA作用,忽 略杠杆质量和支点摩擦影响,用虚功原理确定杠杆在水平位 置平衡时,杆端B需要施加的力FB。 解:杠杆受理想约束,主动力为FA和FB,根据虚功原理 得 FAxA+ FBxB = 0 xA=L A,xB=LB 代入到虚功方程得 (FA LA + FB LB)θ = 0
32. 第5章 速度与静力学关系 因为δθ是任意的,所以上式中括号内的值必为零,因此 FA  L A FB   LB 式中负号表示实际方向与假设方向相反。显然,虚功原理计 算结果与直接用杠杆原理计算结果完全相同。
33. 第5章 速度与静力学关系 图5-9 杠杆平衡
34. 第5章 速度与静力学关系 图5-10 机械臂静力学关系
35. 第5章 速度与静力学关系 在推导过程中采用以下规定符号: r =[r1, r2,,rm]T 为m×1维手爪虚位移矢量;   [1 ,  2 , n ]T 为n×1维关节虚位移矢量; F = [f1, f2,,fm]T 为m×1维手爪受力矢量; t =[t1, t2,,tn]T 为n×1维关节驱动力矢量。
36. 第5章 速度与静力学关系 图5-10中手爪对环境的作用力F和环境对手爪的作用 力F′是一对作用力和反作用力,所以,F′=-F。忽略机械臂 重力和关节摩擦影响,由虚功原理得: 因此, tTθ + F′Tr = 0 (5-21) tTθ - FTr = 0 (5-22) 根据雅可比矩阵的含义可得 r = J θ (5-23) 把式(5-23)代入到式(5-22)得 t - FJ) = 0 (5-24)
37. 第5章 速度与静力学关系 因为δθ是任意的,所以 t - FJ = 0 (5-25) 最后,可以得到机械臂平衡时,关节驱动力矩与末端手爪 生成对环境作用力关系: t J F T (5-26)
38. 第5章 速度与静力学关系 例5-5 如图5-11所示2自由度机械臂,当关节角 θ1=0rad,θ2=π/2rad时,求生成手爪力F=[fx,fy]T的关节驱 动力矩τ。 图5-11 求生成力F的关节驱动力矩
39. 第5章 速度与静力学关系 解: 根据例5-3计算的雅可比矩阵并代入关节角值得   L1s1  L2 s12 J      L1c1  L2 c12  L2 s12    L2   L2 c12   L1  L2  0  再根据式(5-26)得关节驱动力矩为   L2 τJ F    L2 T L1   f x    L2 f x  L1 f y  f    0   y    L2 f x  在本例题中,根据关节驱动力矩τ和生成手爪力F对两个关节 的力矩相等的条件,可以得到相同的结果。但是如果机械臂 结构比较复杂,且处于一般位置时直接计算力矩相等将非常 复杂。