自动控制原理-第2章 数学模型

ching

2020/09/14 发布于 教育 分类

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1. 第2章 控制系统的数学模型 l 2.1 微分方程 l 2.2 传递函数 l 2.3 结构图 l 2.4 信号流图 l 2.5 MATLAB中数学模型的表示 1
2. 2.1 微分方程 2.1.1 系统微分方程的建立 列写微分方程的一般步骤是: 1)根据实际工作情况,确定系统或各元器件的输入变 量和输出变量。 2)从输入端开始,按照信号传递的顺序和各变量所遵 循的物理规律,列出微分方程组。 3)消去中间变量,得到描述系统输出量与输入量(包 括扰动量)关系的微分方程。 4)标准化。即将微分方程中与输出量有关的项写在方 程的左端,与输入量有关的项写在方程的右端,方程两端 2 变量的导数项均按降幂排列。
3. 例2-1 求图2-1所示RLC电路网络的微分方程。 ur (t) 为输入量,uc (t) 为输出量。 解: 设回路电流为i(t),根据基尔霍夫定律有 d i (t ) L  R i (t )  u c (t )  u r (t ) dt 消去中间变量i(t),可得 d 2 u c (t ) du c ( t ) LC  RC  u c (t )  u r (t ) 2 dt dt d 2uc (t ) du c ( t ) Tl Tc  Tc  uc (t )  ur (t ) 2 dt dt 其中,Tl  L , Tc  RC R RLC无源网络是一个二阶常系数线性微分方程。 3
4. 例2-2 试求图2-2所示弹簧-质量-阻尼器机械位 移系统的微分方程。设外作用力F为输入量,位移x为输 出量。 解: 在外力的作用下,质量为m的物体还受到两个力: 弹簧的恢复力 kx ( t ) ,与x方向相反 阻尼器的阻尼力 f dx (t ) ,与x方向相反 dt 由牛顿第二定律有 d 2 x (t ) dx (t ) m   F F  kx (t )  f 2 dt dt 整理后得: d 2 x (t ) d x (t ) m  f  k x (t )  F 2 dt dt 也是一个二阶常系数线性微分方程。 4
5. 2.1.2 非线性微分方程的线性化 非线性特性线性化的方法,也称为小偏差法。 将非线性函数y=f(x)在工作点(x0,y0)处 展开成泰勒级数,当系统只在x0附近很小的邻域内运动, 即(x-x0)很小,则可忽略二次及二次以上的高次项,得 到一个线性方程式: df y  y0  dx 线性化增量方程: ( x  x0 ) x  x0 y  K x 5
6. 直流发电机的发电特性曲线 e  f (i ) 。 若发电机工作在曲线上的A点,对应的 输出电动势和励磁电流分别为e0和i0。 但当励磁电流只在工作点A附近变化时, 就可以近似地认为e是沿着A点上的切线 (直线)变化。 df e  e0  di 线性化增量方程: i  i0 ( i  i0 ) e  K i 6
7. l 2.1.3 线性微分方程的求解 线性微分方程的求解,拉氏变换法: 拉氏变换法求解微分方程步骤: (1)方程两边求拉氏变换。 f (t )  F ( s ) (2)给定的初始条件代入方程。 (3)求出系统输出量的拉式变换式。 (4)拉式反变换求出系统输出的时间解。 F (s)  C (s) C ( s )  c (t ) 7
8. 2.1 传递函数 2.1.1 传递函数的基本概念 1.定义 线性定常系统在零初始条件下,系统输出量的拉氏变换 与输入量的拉氏变换之比,称为该系统的传递函数,通常用 G(s)或Φ(s)表示。 输出信号的拉氏变换 C (s) 传递函数   输入信号的拉氏变换 零初始条件 R ( s ) 8
9. 设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述: d n c(t ) d n1c(t ) dc(t ) an  an1  L  a1  a0 c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m1r (t ) dr (t )  bm  bm1  L  b1  b0 r (t ) m m 1 dt dt dt 由定义得系统的传递函数为: C ( s ) bm s m  bm 1s m 1  bm  2 s m  2    b0 G (s)   R ( s ) an s n  an 1s n 1  an  2 s n  2    a0 ( m  n) 传递函数是一种用系统参数表示输 出量与输入量之间关系的表达式。 C (s)  G (s) R(s) 9
10. 2. 性质 传递函数具有以下性质: 1)传递函数是复变量s的有理真分式,其分母多项式 的阶次n一般大于等于分子多项式的阶次m,即n≥m。 2)传递函数只反映系统在零初始条件下的运动特性。 3)传递函数只取决于系统自身的结构和参数,与系统 的输入量无关。 4)服从不同物理规律的系统可以有同样的传递函数, 故它不能反映系统的物理结构和性质。 5)传递函数只描述系统的输入输出特性,而不能表 征系统内部所有状态的特性。 6)传递函数的概念只适用于线性定常系统。 10
11. 3. 传递函数的其他形式 (1)零、极点表达式 m b m ( s  z1 )( s  z 2 )    ( s  z m ) G (s)   a n ( s  p1 )( s  p 2 )    ( s  p n ) K r  ( s  zi ) i 1 n  s  ( s  p j ) j 1 式中: K r ——为系统根轨迹放大系数; z1 , z2 L zm ——为系统的零点;  ——为零值极点的个数; p1 , p2 L pn ——为系统的非零极点。 11
12. 例 K r ( s  1)( s  3) G (s)  s ( s  2)( s 2  2 s  5) j j2 其零、极 点分布图 3 2  1  j2 12
13. (2)时间常数表达式 K ( 1 s  1)( 2 2 s 2  2   2 s  1)    ( i s  1) G (s)   s (T1 s  1)(T 2 2 s 2  2  T 2 s  1)    (T j s  1) 式中: K ——为系统放大系数;  i,T j ——为分子、分母多项式因子的时间常数。 各参数与零、极点式的关系: m 1 1 i  ,T j  ,K  Kr  zi  pj  ( z ) i 1 n   ( p j 1 i j ) 一次因子对应于实数零、极点, 二次因子对应于共轭复数零、极点。 13
14. 2.2.2 典型环节及其传递函数 常有的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、 微分环节和振荡环节等。 1.比例环节 传递函数为: G (s)  K 2. 积分环节 1 传递函数为: G ( s )  Ts ——T为积分时间常数。 当输入信号突然变为零时,输出量维持 原值不变,积分环节具有记忆功能。 14
15. 3. 惯性环节 1 传递函数为: G ( s )  Ts  1 ——T为惯性环节时间常数,负实极点 p  1 T 惯性环节的阶跃 响应是按指数规 律上升的曲线: 1 r(t ) c(t ) 0.632 0 T t 15
16. 5.振荡环节 振荡环节包含两个储能元件,在动态过程中,两个储能元件 的能量互相交换。 n 2 1 传递函数为:G ( s)  2  s  2n s  n 2 T 2 s 2  2 Ts  1 式中,ξ—阻尼比 (0    1) 1 T n  n —自然振荡角频率(无阻尼振荡角频率) c (t ) r (t ) 振荡环节的传递函数有一对共 轭复数点 s1, 2   n  j n 1   2 , 1 无零点,阶跃响应是按指数规律 衰减振荡。 0 t 16
17. 4. 微分环节 微分环节的输出与输入信号的微分,即变化率有 关。控制系统中有三种常用的微分环节 理想微分 一阶微分 二阶微分 G (s)  s G (s)   s  1 G ( s )   2 s 2  2 s  1 微分环节的传递函数只有零点,没有极点。由于微分环节的输出量与 输入量的变化率有关,它能预示输入信号的变化趋势,故有预报功能。 实用微分环节电路和传递函数: s G (s)  s 1 s uc (t) C 1 R ur (t) uc (t) 0 . 367 0 a) T 17 b) t
18. 6.延迟(时滞)环节 延迟环节的输出是在经一个延迟时间后,完全复现 输入信号。 c (t )  r (t   ) 传递函数为: 式中  G ( s )  e s —延迟时间常数  延迟环节阶跃响应曲线 18
19. 2.2.3 传递函数的求取 对于已经求得输入、输出微分方程式的系统,可 直接对该方程进行拉式变换求得传递函数,如RLC 电路网络的传递函数: U c (s) 1  U r (s) TlTc s 2  Tc s  1 对于电路网络,可利用复阻抗的概念,直接写出 拉氏变换关系的代数方程求解传递函数。 电路网络中 的复阻抗: 电阻—— R Ls 1 电容 —— Cs 电感 —— 19
20. 例2-5 试求图2-11 所示有源电路网络的传递函数。 解 运算放大器输入和输出电路的复阻抗为 Z1 ( s )  R1 Z 2  R2  R3 1 Cs R2 R3Cs  R2  R3  R3  1 Cs R3Cs  1 由运算放大器电路“虚地”的概念,有 i1 (t )  i2 (t ) U r ( s) U c ( s)   则 Z1 (s) Z 2 ( s) ur (t ) R1 R2 C i2 ( t ) R3 uc (t ) i1 ( t ) 所以传递函数为: U ( s) Z ( s) G ( s)  c  2 U r ( s) Z1 ( s) 式中: K  R2  R3 R1 ( R R Cs  R2  R3 ) ( R3Cs  1)  s 1  2 3  K  R1 Ts  1 R2 R3  C R2  R3 T  R3C 20
21. 2.3 结构图 2.3.1 结构图的基本概念 l 结构图是控制系统原理图与数学方程的结合。结构图既 补充了控制系统原理图所缺乏的定量描述,又避免了纯 数学的抽象运算。 结构图包含四种基本单元: (1)信号线 (2)引出点 (3)比较点 (4)方框 21
22. 绘制系统框图的一般步骤为: 1)列出描述系统各环节或元件的运动方程式,确定 其传递函数。 2)绘出各环节或元件的方框,方框中示明其传递函 数,并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。 3)根据信号的流向关系,依次将各方框连接起来, 构成系统的结构图。 22
23. 例2-6 解 绘制图2-13所示两级RC滤波网络的结构图。 用复阻抗法直接列写出复域方程为: 1 I 1 ( s )  [U r ( s )  U 1 ( s )] R1 1 U 1 ( s )  [ I 1 ( s )  I 2 ( s )] C1s 1 I 2 ( s )  [U 1 ( s )  U c ( s )] R2 1 U c (s)  I 2 (s) C2 s R1 ur (t) u1 R2 i1 (t ) C1 i2 (t ) C2 uc (t ) 根据方程可分别建立每个方程各变量间的传递方框,如教材图2-15a)-d)。 连接各方框 便得到两级RC 滤波网络的结 构图 : 23
24. 例2-7 试绘制如图2-15所示转速控制系统的结构图。系统的输入 量为给定电压 u n* ,输出量为电动机转速 n 。 例2-7 原理图 例2-7 结构图 24
25. 2.3.2 结构图的等效变换及化简 结构图等效变换的两条基本原则是: 1)变换前后前向通道中传递函数的乘积应保持不变; 2)变换前后各回路中传递函数的乘积应保持不变。 1. 基本连接的等效变换 结构图的基本连接方式有三种:串联、并联和反馈。 (1)串联 (2)并联 25
26. (3)反馈 反馈结构及其等效变换如图: 所以负反馈连接的等效传递函数为 C (s) G (s)  (s)   R(s) 1  G (s)H (s) G ( s ) H ( s ) 称为开环传递函数,它可定义 其中, ( s ) 称为闭环传递函数, 为反馈信号与偏差信号之比。若为正反馈,式中分母对应的符号为“-”。 若反馈通路的传递函数 H ( s )  1 ,称为单位反馈系统。单位反馈系统 的开环传递函数即为其前向通道的传递函数 G ( s ) 。 26
27. 2.引出点和比较点的移动 引出点 后移: 引出点 前移: 27
28. 2.引出点和比较点的移动 比较点 后移: 比较点 前移: 比较点 交换: 注意:引出点和比较点之间不能简单地直接移动 28
29. 例2-8 化简结构图,求两级RC滤波网络的传递函数。 解: 得传递 函数: U o ( s) 1  U r ( s) R1 R2C1C2 s 2  ( R1C1  R2C2  R1C2 ) s  1 29
30. 例2-9 得传递 函数: 简化如图所示系统的框图,并求系统传递函数。 ( s )  G1G2 G3  G1G4 C ( s)  R( s) 1  G1G2 H 1  G2 G3 H 2  G4 H 2  G1G2 G3  G1G4 30
31. 2.3.3 闭环控制系统的传递函数 1. R (s ) 作用下的闭环传递函数  (s)  G1 ( s ) G 2 ( s ) C (s)  R ( s ) 1  G1 ( s ) G 2 ( s ) H ( s ) 2. N ( s ) 作用下的闭环传递函数 G2 (s) C (s)  n (s)   N ( s ) 1  G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s ) 3. R (s )作用下的误差传递函数 E (s) 1  e (s)   R ( s ) 1  G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s ) 4. N ( s )作用下的误差传递函数 G2 ( s ) H ( s ) E ( s)  en ( s )   N ( s) 1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s ) 31
32. 给定输入和扰动输入同时作用下闭环控制系统的总输出 C ( s)  Cr ( s)  Cn ( s)   ( s) R( s)   N ( s) N ( s) C ( s )  Cr ( s )  Cn ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) G2 ( s )  R( s)  N (s) 1  G ( s) H ( s) 1  G ( s) H ( s) 给定输入和扰动输入同时作用下闭环控制系统的总误差 E ( s )  Er ( s )  En ( s ) G2 ( s ) H ( s ) 1  R(s)  N (s) 1  G ( s) H ( s) 1  G ( s) H ( s) 32
33. 2.4 信号流图 信号流图和结构图一样,也是一种图模型。 x1  x1 一组代 数方程 式: x 2  ax1  ex 3 x3  dx1  bx 2  fx 4 x 4  cx 3  gx 4 g d 其对应 信号流 图: x1 x1 a x2 b e x3 c f x4 1 x4 33
34. 2.4.1 信号流图的符号及术语 1.信号流图的符号 信号流图的基本图形符号有三种: 节点:表示系统中的一个变量(信号),用小圆圈“。”表 示。 支路:连接两节点的线段为支路,用“→”表示,箭头方向 表示信号的传递方向 增益:标注在支路旁的两个变量之间的数学关系,称为支路 的增益,也称为传输。 增益 X 1 (s) G (s) 支路 X 1 (s) 节点 34
35. 2.信号流图的术语 35
36. 2.4.2 信号流图与结构图的关系 信号流图中的增益相当于结构图中的方框,而其节点相当于 结构图中比较点和引出点的组合。 36
37. G5 例2-11结 构图: R(s) x1 G1 x2 x3 G2 G3 x4 G4 C (s) H1 G6 H2 G5 其对应信 号流图: x1 G1 R(s) R(s) G6 x2 G2 x3  H2 G3  H1 x4 G4 C(s) C(s) 37
38. 2.4.4 梅逊公式及其应用 两节点之间传递函数(增益)的梅逊公式为: 1 G (s)   n P k 1 k k 式中: n 为从输入节点到输出节点的前向通道总数; Pk 为第 k 条前向通道总增益;  k 为第 k 条前向通道的特征余子式;  为特征式,由系统信号流图中各回路增益确定:   1   La   L b Lc   La Lb ` Lc   其中:  L 为所有独立回路增益之和;  Lb Lc 为所有两个互不接触回路增益的乘积之和; a L d Le L f 为所有三个互不接触回路增益的乘积之和。 38
39. 例2-11 用梅逊公式求图2-35所示系统的传递函数 解 C ( s) 。 R( s ) 由结构图画出该系统的信号流图如图所示。 系统有3个独立回路 L1  G1G 2 G3 G 4 H 2 L2  G1G6 H 2 L3  G3 H 1 其中,L2和L3两个回路互不接触,故特征式为   1  ( L1  L 2  L3 )  ( L2 L3 )  1  G1G 2 G3G 4 H 2  G1G6 H 2  G3 H 1  G1G3G6 H 1 H 2 39
40. 例2-12 用梅逊公式求图所示系统的传递函数。 G5 R (s ) G1 1 G2  H1 G3 G4 1 C (s )  H2  H3 解 系统有4个独立回路 L1  G1G2 H1 L2 与 L3 互 不接触。 2条前向 通道: 系统的传 递函数: L3  G1G2G3G4 H 3 L2  G3 H 2 L4  G1G5 H 3   1  ( L1  L 2  L3  L4 )  ( L2 L4 )  1  G1G2 H 1  G3 H 2  G1G2G3G4 H 3  G1G5 H 3  G1G3G5 H 2 H 3 P1  G1G2G3G4 1  1 P2  G1G5  2  1  G3 H 2 C (s) 1  ( P11  P2  2 ) R(s)   G1G2G3G4  G1G5 (1  G3 H 2 ) 1  G1G2 H1  G3 H 2  G1G2G3G4 H 3  G1G5 H 3  G1G3G5 H 2 H 3 40
41. C ( s) C (s) 例2-13 用梅逊公式求图所示系统的传递函数 、 。 N ( s) R( s) N (s ) C (s ) G1 G2 C (s) H1 H2 解 系统有3个独立回路 L1   G1 H 1 L2  G1G 2 H 2 L3   G1 H 2   1  ( L1  L 2  L 3 )  1  G1 H 1  G1G 2 H 2  G1 H 2 41
42. 输入到输出的前向通道有2条 P1  G1G2 1  1 P2  G1 2  1 G1G2  G1 C (s) 1  ( P11  P2  2 )  R(s)  1  G1 H 1  G1G2 H 2  G1 H 2 扰动输入到输出的前向通道有2条 P1  G2 1  1 P2  G1H1 2  1 C (s) 1 G2  G1 H1  ( P11  P2  2 )  N (s)  1  G1 H1  G1G2 H 2  G1 H 2 42
43. 2.5 MATLAB中数学模型的表示 2.5.1 传递函数模型的MATLAB表示 1. 传递函数模型 (tf) bm s m  bm 1 s m 1      b1 s  b0 G (s)  a n s n  a n 1 s n 1      a1 s  a 0 num  [bm , bm 1 , bm  2 , b1 , b0 ] den  [an , an 1 , an  2 ,  a1 , a0 ] g = tf(num,den) 2. 零极点模型 (zp) G (s)  K r ( s  z1 )( s  z 2 )  ( s  z m ) ( s  p1 )( s  p 2 )  ( s  p n ) z  [  z1 ,  z2 ,  z3 ,  zm ] p  [ p1 ,  p2 ,  p3 ,   p n ] k  Kr g = zpk(z,p,k) 3. 模型的转换 [num,den]=zp2tf (z,p,k) [ z ,p ,k ] = tf2zp(num,den) 43
44. 2.5.2 结构图模型的MATLAB表示 串联: [num,den]=series (num1,den1,num2,den2) 并联: 反馈: [num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2) [num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) 其中,sign=1为正反馈,sign=-1为负反馈,缺省值为-1 单位反馈: [num,den]=cloop (num1,den1, sign) 其中,sign的含义与feedback同 举例: 44