自动控制原理-第3章 时域分析

ching

2020/09/14 发布于 教育 分类

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1. 第3章 时域分析法 l 3.1 典型输入信号和时域性能指标 l 3.2 控制系统的稳定性分析 l 3.3 控制系统的暂态性能分析 l 3.4 控制系统的稳态性能分析 l 3.5 MATLAB用于时域响应分析 1
2. 3.1 典型输入信号和时域性能指标 3.1.1 典型输入信号 0 1.阶跃信号 r (t )   A  2.斜坡信号 3.抛物线信号 0 r (t )    At 0  r (t )   1 2  2 At t0 t0 ,拉氏变换式: R ( s )  A s t0 ,拉氏变换式: R ( s )  A t0 s2 t 0 t0 A ,拉氏变换式: R ( s )  3 s 2
3. 4.脉冲信号 0  r (t )   A  h 当 t  0, t  h 0th h  0 ,A=1时称为单位脉冲信号,记作  ( t ) 。 R ( s )  L[ ( t )]  1 5.正弦信号 r (t )  A sin t ,拉氏变换式: A R (s)  2 s  2 3
4. 3.1.2 时域性能指标 稳定系统的阶跃响应具有衰减振荡和单调变化两种类型。 1.暂态性能指标:上升时间 t r ,峰值时间 t p ,调整时间 ts , (最大)超调量  p 。 上升时间和峰值时间反映系统响应初始阶段的快慢;最大超 调量反映了暂态过程的平稳性;调节时间反映了系统的快速性。 2.稳态性能指标: 稳态误差 ess ,反映了系统的控制精度。 4
5. 3.2 控制系统的稳定性分析 3.2.1 稳定性的概念及线性系统稳定条件 稳定性是控制系统最基本的性质,是系统能够正常工作的首要条件。 稳定性的概念:一个处于某平衡状态的系统,在扰动信号的作用 下,会偏离原来的平衡状态,当扰动作用消失后,系统又能够逐渐地恢复 到原来的平衡状态,或者说系统的零输入响应具有收敛性质,称系统是稳 定的。反之,若系统不能恢复到原平衡状态,即系统的零输入响应具有发 散性质,或者进入震荡状态,则系统是不稳定的。 稳定性是系统去掉外作用后,自身的一种恢复能力,是系统的一种固 有特性,只取决于系统的结构参数而与初始条件及外作用无关。 5
6. 设系统的闭环传递函数为: m (s)  M ( s)  D(s) Kr  (s  zi ) n1 n2 i 1  (s  p ) (s j 1 j k 1 2  2 knk s  nk2 ) 系统单位脉冲响应为: R(s)=1 n1 c(t )   Aj e j 1  p jt n2   Dk e k nk t sin(dk t   k ) t0 k 1 线性定常系统稳定的充分必要条件是:闭环系统特征方程的根均具有 负实部;或者说,闭环传递函数的极点都位于S平面的左半部。 6
7. 3.2.2 劳斯(Routh)稳定判据 劳斯稳定判据是利用特征方程的系数进行代数运算来确定特征方 程在s右平面的根的数目,以判定控制系统的稳定性,也称为代数稳 定判剧。 1. 线性定常系统稳定的必要条件 设线性系统的特征方程为 D( s)  an s n  an 1s n 1  an  2 s n  2  an 3 s n 3    a 0  0 式中,特征方程的系数 an , an 1 L a0 为实数。 系统稳定的必要条件是:特征方程的所有系数都大于零。 7
8. 2. 劳斯稳定判据 (1)建立劳斯表 将特征方程的系数按以下方法构成一个n+1行的劳斯表: sn an an  2 an  4 ... s n 1 an 1 an  3 an  5 ... an 1an  2  an an 3 b1  an 1 an 1an  4  an an 5 b2  an 1 b3 ... b1an 3  an 1b2 c1  b1 b1an 5  an 1b3 c2  b1 c3 ...     s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1 s n2 s n 3 8
9. (2)劳斯稳定判据 劳斯稳定判据指出:系统特征方程具有正实部根的个 数等于劳斯表第一列元素符号改变的次数。 系统稳定的充分必要条件是——特征方程的全部系数都 大于零,且劳斯表的第一列元素都大于零。 9
10. 例3-2 设某控制系统的特征方程为 D( s)  s 4  3s3  3s 2  2 s  2  0, 判定系统的稳定性。 解 特征方程的系数都大于零,满足稳定的必要条件。 列劳斯表: s4 s3 s2 s1 s0 1 3 2 3 2 3  3  1 2 7 3  2  1 0  7 26 (同乘3) 3 3 3 7  2  3 6 4   符号改变一次 7 7 6  符号改变一次 由于劳斯表第一列数不全为正,故系统不稳定。第一列数符号改变 了两次,故系统有两个正实部根。 10
11. (3)两种特殊情况的劳斯判据 1)在劳斯表的某一行中,第一列数为零,而其余数不全为零。按 照劳斯判据,因第一列元素不全大于0,可以确定系统不稳定。如需要 了解根的分布情况,可用一个有限小的正数代替0,完成劳斯表。 2)劳斯表某行元素全为零,表示特征方程具有对称于原点的根存 在。可用全零行的前一行数值组成辅助方程 P ( s ) ,并用这个方程的导 数P( s ) P(s) 的系数代替全零行的各项,完成劳斯表。利用辅助方程 可 解得那些对称根。 11
12. 例3-4 设系统的特征式为 D( s )  s 6  2s 5  8s 4  12s 3  20s 2  16s  16  0 试判定系统的稳定性。 列劳斯表: s6 s5 s4 s3 s 3 s 2 s1 s0 1 2 2 0 8 12 12 0 4 12 6 16 4 3 16 20 16 16 0 16 全零行 P( s)  s4  6 s2  8  0 P( s)  4 s3  12 s 第一列元素符号没有改变,表明系统不 存在s右平面的特征根,临界稳定。 解辅助方程: P( s )  s 4  6 s 2  8  ( s 2  4)( s 2  2)  0 得临界根: s1, 2   j 2, s 3, 4   j 2 12
13. 3. 劳斯判据的应用 (1) 确定闭环系统稳定时的参数条件 (2)检验系统的稳定裕量 例3-6 解 确定图3-4所示系统稳定时K的取值范围。 系统的特征方程为 4 3 2 D ( s)  s  5s  5s  4 s  K  0 R(s) K s( s 2  s  1)( s  4) C ( s) 列劳斯表: s4 s3 s2 s1 s0 1 5 21  21 5 84  25 K 21 5K 5 4 K  5K K 0 (同乘5) 系统稳定条件: K  0, 84  25 K  0, 即 84  K >0 25 13
14. 3.3 控制系统的暂态性能分析 3.3.1 一阶系统分析 一阶系统的传递函数和典型结构为  (s)  C (s) 1  R ( s ) Ts  1 一个负实数特征根——  1 T 系统阶跃响应的拉氏变换式为 C ( s )  ( s ) R( s )  1 1  Ts  1 s 可得系统的单位阶跃响应 c(t )  L-1[C ( s )]  1  e  t T t0 一阶系统的单位阶跃响应是单调上升的指数曲线,暂态分量随时间 增加而逐渐衰减为零,暂态分量衰减的速度(快速性)与一阶系统的特 14 征参数 T 有关,ts  3T 或4T 。
15. 3.3.1 二阶系统分析 1. 数学模型 典型二阶系统的结构和闭环传递函数: n2 C(s) 1 (s)   2 2  2 R(s) T s  2 Ts 1 s  2n s  n2 n  1T 为无阻尼振荡频率(或自然振荡频率)。 其中, 为系统的阻尼比; 系统的特征方程为 s 2  2 n s   n2  0 特征方程的根,即闭环系统的极点为 s1, 2   n   n  2  1 特征方程根的性质由  的值完全决定了。 15
16. 2. 单位阶跃响应 单位阶跃响应的拉氏变换式为 s  2 n 1  n2 1 1   C (s)   (s)   2  s s  2 n s   n2 s s s 2  2 n s   n2 (1)   0 无阻尼情况 s1, 2   j n ——一对纯虚根 1 s C (s)   2 c (t )  1  cos  n t t0 2 s s  n 响应为等幅振荡曲线,其振荡的角频率为 ,系统不能稳定工作。 n (2) 0    1 欠阻尼情况 s1,2  n  jn 1   2  n  jd ——为一对具有负实部的共轭复数根 16
17. 单位阶跃响应为 C (s)  s  n n 1   s ( s  n ) 2  d 2 ( s  n ) 2  d 2 c(t )  1  e nt cos  d t   1  1 1 1  2 1 1  2  1  2 e nt sin  d t ent [ 1   2 cos d t   sin d t ] e nt sin( d t   ) t0 其中,  arctan( 1   2 /  ) 欠阻尼二阶系统响应的暂态分量,是幅值随时间按指数规律衰减的 正弦振荡项。其振荡的角频率为阻尼振荡频率  d ,即特征方程根的虚 部;其衰减的速度由  n ,即特征方程根的实部的绝对值决定。 17
18. (3)   1 临界阻尼情况 s1, 2   n ——一对相等的负实数根 s  2n n 1 1 1 C ( s)   2    2 s s  2n s  n s s  n ( s  n )2 nt c(t)  1 e (4) (1 nt) 响应为无振荡及超调 的单调上升曲线 t 0   1 过阻尼情况 s1, 2   n   n  2  1 令s1   1 , s2   1 T1 T2  n2 C (s)  ——2个不相等负实根, 且 s1  s2  n 2 A1 A2 1 1    ( s  1 T1 )( s  1 T2 ) s s ( s  1 T1 ) ( s  1 T2 )  c(t )  1  A1et T1  A2et T2 t 0 响应的暂态分量是两个单调衰减的指数项,响应曲 线与临界阻尼时一样——无振荡单调上升曲线 18
19. 不同阻尼比时系统特征方程的根在s平面的位置及其单位阶跃响应曲线 j 1  0  0 n  1 0  1 1  0  0 
20. 2. 欠阻尼典型二阶系统暂态性能指标计算 欠阻尼单位阶跃响应式: 1 c (t )  1  1 2 e   n t sin( d t   ) t0 (1)上升时间 令c (tr )  1,则 sin(d tr   )  0 , 可 得 : tr       d n 1   2 (2)峰值时间 dc(t ) 令  0,得 dt 按定义,峰值时 间应出现在第一 个峰值处,则:   n sin( d t   )   d cos( d t   )  0 tan( d t   )  tan  d t p   .   tp   d n 1   2 20
21. (3)最大超调量 将t p 代入输出响应式有: c(t p )  1  exp(  p  c(t p )  c() c() 1 2 )  100%  exp(  1   2 )  100%  0.4 0.5 0.6 0.68 0.707 0.8  p (%) 25 16.3 9 5 4.3 1.5 p 可见,最大超调量仅由阻尼 比决定。阻尼比  越大,超调量  p 越小,系统的平稳性越好。 21 
22. (4)调整时间 当阻尼比很小时 (  0.8) ,经过二次近似后,常用下列两 式计算调整时间 4  t   s   n  t  3  s  n   0.02   0.05 而实际的调整时间 t s ,当  >0.7之后, 增大,t s 会变大, 快速性变差。 从以上分析计算可知,为使系统具有较好的平稳性和快速性,阻 尼比一般应取0.4~0.8之间,这时超调量约在25%~1.5%之间,而调 节时间比较短。工程上常取   0.707 作为设计依据,称之为“二阶 t s (   0 . 05 ) 最佳系统”。此时,超调量为 4.3%,而调整时间 最小。 22
23. 例3-8 控制系统结构图如图所示,其中 K  4, T  0.25 。 (1) 讨论系统参数K、T对系统暂态性能的影响。 (2) 计算系统的暂态性能指标 。 (3)若要求将系统设计成二阶最佳   0 .707 ,在不改变T的情况下应 如何改变K值? 解 (1) 系统的闭环传递函数为  (s)  K K T  1 Ts 2  s  K s2  s  K T T n2  K T , 2n  1 T , n  K T ,   讨论:由参数K、T 与  R( s ) K s(Ts  1) C(s) 1T 1  2n 2 KT 和  n 的关系可知:开环放大系数K 和时间常数T  减小,超调量增大,系统振荡加剧;而 n  1 2T ,t s = 6 T , 系统的调节时间由时间常数唯一确定,增大T,t s 增大,快速性下降。 增大,都会使 23
24. (2) 当K=4,T=0.25时 n  K T  4,   1T 1   0.5,   arccos    3 2 n 2 KT 系统的暂态性能指标为: tr  tp    n 1 2  n 1    3 4 1  0.5  4 1  0 .5 2 3  1.5( s )  n 0.5  4 4 4 ts    2( s )  n 0.5  4 ts  3 2   2  0.61( s ) (3) 0.91( s )   0.05   0.02  p  exp(0.5 / 1  0.5 2 ) 100%  16.3% (3) 若设计   0.707 ,有 1    0.707,  K  2 2 0.25K 24
25. 例3-9 某单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示, 试确定系统的开环传递函数。 解 由图可知,该系统为欠阻尼二阶系统。且有  p  30%, 由 tp  t p  0.1 n   n 1  0 .1 2 1   2 )  0.3 (ln  p ) 2  2  (ln  p ) 2  tp 1 1.3 1  p  exp(  解得:   c (t ) 2   0 t 0.1 1 .45  0 .358 11 .3 31 .4 1  0.358 2  33 .63 所以,系统的开环传递函数为:  n2 1131 G (s)   s ( s  2 n ) s ( s  24 .1) 25
26. 4. 二阶系统性能改善 (1)误差的比例-微分控制 R(s) E(s) n2 s(s  2n ) C(s) s 系统引人比例-微分控制后闭环传递函数为 (1   s ) n2 (1   s ) n 2 C (s)  (s)   2  2 2 2 R ( s ) s  2 n s   n s   n s  2  n s   n 2 其中:    1  n 2 可见阻尼比增大了,使减小超调量,系统平稳性提高。 26
27. n2 s(s  2n ) R(s) (2) 速度负反馈控制 C (s) s 系统引人速度负反馈控制后闭环传递函数为: n2 n 2 C (s) (s)   2  2 2 2 R ( s ) s  2n s  n s  n s  2 n s  n 2 其中:      1  2 n 可见阻尼比增大,减小了超调量,系统的平稳性得到提高。 但开环增益下降了: 由原来: K  n 2 改变为: K  对系统的稳态性能将产生不利的影响 。 n 2  n 27
28. 3.3.3 高阶系统分析 1. 高阶系统的暂态响应分析 三阶及以上系统。将式(3-46)传递函数表示成零、极点形式: m  (s)  K r  ( s  zi ) n1 i 1 n2  ( s  p ) ( s j j 1 2 k 1  2 k  nk s   ) 2 nk 式中:n1  2n2  n 设系统没有重极点。系统单位阶跃响应为 n2 Bk s  Ck 1 A0 n1 Aj C(s)  (s)    2 s s j 1 s  p j k 1 s  2 k  nk s   nk2 n1 c(t )  A0   A j e  p jt j 1 n2   Bk e  k nk t cos nk 1   k2t k 1 n2   Ck e  k nk t sin nk 1   k2 t (t  0) k 1 n1 c(t )  A0   Aj e j 1  p jt n2   Dk e knk t sin(dk t   k ) k 1 t0 28
29. 由求得的高阶系统阶跃响应可知,高阶系统单位阶跃响应的 稳态分量为常数A0。暂态分量则由一些实数极点构成的指数函数 项和共轭复数极点构成的二阶正弦函数项线性组合而成。 如果所有闭环极点都具有负实部,即所有极点都位于s平面的左半 部,随着时间的增大,响应中的暂态分量指数函数项和二阶正弦函数项 都将衰减趋于零,高阶系统是稳定的。 各暂态分量衰减的快慢,取决 于对应极点离虚轴的距离。极点离虚轴越远,该极点对应的暂态分量衰 减越快。反之,离虚轴很近的极点,其对应的暂态分量项衰减慢,它在 整个暂态分量中起主导作用。 29
30. 2. 闭环主导极点 工程上常采用主导极点的概念对高阶系统进行近似分析,或采 用计算机进行分析。 高价系统中,满足下列2个条件的极点称为主导极点: (1)距虚轴最近且周围没有零点; (2)其他极点与虚轴的距离比该极点与虚轴的距离大5倍以上。 利用主导极点的概念,可以将高阶系统近似用一、二阶系统表达, 以便估算系统的性能指标。 例如,某四阶系统的闭环传递函数 (s)  C (s) 2(2 s  1)  R ( s ) (2.05s  1)(0.125s  1)(0.2 s 2  0.4 s  1) 系统的闭环传递函数可近似为: (s)  C (s) 2 25   R ( s ) 0.2 s 2  0.4 s  1 s 2  2 s  5 30
31. 3.4 控制系统的稳态性能分析 3.4.1 误差及稳态误差 1.误差的定义 (1) 从输入端定义:以系统的输入信号与 反馈信号比较后的偏差信号定义为误差: E1 ( s)  R( s)  B( s)  R( s)  H ( s)C ( s) (2) 从输出端定义:以系统的期望输出与实际输出信 号之差定义为误差: E2 ( s )  C r ( s )  C ( s ) E2 ( s)  E ( s) R( s)  C ( s)  1 H ( s) H ( s) 对于单位反馈系统 Cr ( s )  R ( s ) 对于非单位反馈系统 Cr ( s )  R ( s ) / H ( s ) 从输入端定义的误差可以测量,便于用结构图进行分析计算,故在工程上 31 应用较多。在本教材,未加特殊说明时,均采用从系统输入端定义的误差。
32. 2.稳态误差 系统误差的稳态分量在 t   时的值被称为稳态误差, 用 ess 表示。 N(s) R(s) ess  lim e(t ) E(s) t  由反馈控制系统的典型结构,得误差信号 E (s)  G1(s) G2 (s) C(s) H(s) G (s) H (s) 1 R(s)  2 N ( s )  Er ( s )  En ( s ) 1  Gk ( s ) 1  Gk ( s ) 式中,开环传递函数 Gk (s)  G1 (s)G2 (s)H (s) 系统的稳态误差 ess  lim sE ( s )  lim sEr ( s )  lim sEn ( s ) s 0  esr  esn s 0 s 0 32
33. 3.4.2 给定输入信号作用下的稳态误差 给定输入信号作用下的稳态误差 esr  lim sEr ( s )  lim s s 0 s 0 1 R(s) 1  Gk ( s ) 1 esr  lim s   R(s) s 0 K 1  s 系统稳态误差——由系统的开环放大系数、开环系统积分环节的数 目和输入信号的形式确定。 控制系统分类: —— 以开环传递函数中含零值极点数(积分环节的数目) 分类, 分别称系统为0型、1型、2型系统。 33
34. 1. 阶跃信号输入 阶跃信号输入时,r (t )  A 1(t ), R ( s )  esr  lim s  s 0 A s 1 A A A    1  Gk ( s) s 1  lim Gk ( s) 1  K p s 0 K p  lim Gk ( s ) ,称为系统的位置稳态误差系数。 s 0 对于0型系统, K p  K, 1型及以上系统, K p  , esr  A 1 K esr  0 根据稳态误差的不同情况 —— 分为 有差、无差、不能跟随输入三类系统 34
35. 2. 斜坡信号输入 斜坡信号输入时, r (t )  At  1(t ), R( s )  A s2 s A A A  2  s 0 1  G ( s) s lim sGk ( s) K v k esr  lim s 0 K v  lim sGk ( s ) ,称为系统的速度稳态误差系数。 s 0 对于0型系统 Kv  0, r (t ) b (t ) esr   A K 1型系统 Kv  K, e sr  2型及以上系统 K v  , e sr  0 2.型系统 ess 1.型系统 0.型系统 0 t 35
36. 3. 抛物线信号输入 1 2 A At  1(t ), R ( s )  3 2 s s A A esr  lim  3 s 0 1  G ( s ) s Ka k 抛物线信号输入时,r (t )  K a  lim s 2Gk ( s ) ,称为系统的加速度稳态误差系数。 s 0 对于1型以下系统 2型系统 K a  0, e sr   Ka  K , esr  A K 小于1型的系统都不能跟踪输入信号 36
37. 输入信号作用下稳态误差的计算方法有两种: 1)终值定理法——直接用终值定理 lim sE ( s ) 求极限求得稳态误差; s 0 2)误差系数法—— 根据输入信号的形式求出相应的误差系数后求 稳态误差。 例3-10 已知控制系统的开环传递函数为 Gk ( s )  10( s  2) s ( s  1)( s  4) 求(1)系统的稳态误差系数;(2)输入信号 r (t ) (1  2t)1(t ) 时 系统的稳态误差。 解 由劳斯判据可判断本系统稳定 (1)误差系数 K p  lim Gk ( s )   s 0 K v  lim sGk ( s )  5 s 0 K a  lim s 2Gk ( s )  0 s 0 (2)稳态误差 根据叠加原理有 esr  1 2   0  0.4  0.4 1 K p Kv 37
38. 3.4.3 扰动信号作用下的稳态误差  sG2 ( s ) H ( s )  esn  lim sEn ( s )  lim   N (s)  s 0 s 0 1  G ( s ) k   说明,扰动输入引起的稳态误差,除了与开环传递函数的类型以 及扰动信号的形式有关外,还取决于扰动作用点的位置。 当 Gk ( s)  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)  1 En ( s )   G2 ( s ) H ( s ) N ( s ) N (s)  Gk ( s ) G1 ( s ) 式中,G1 ( s) 是扰动作用点与误差信号之间的传递函数。 可见,扰动作用下稳态误差的大小,除了与扰动信号 N ( s) 有关 外,还主要取决于扰动作用点到误差信号之间的传递函数 G1 ( s) 。 38
39. 3.5 MATLAB用于时域响应分析 3.5.1 用MATLAB分析系统的稳定性 1.多项式求根命令 roots 可用roots命令求出已知控制系统特征方程的根。 例3-12 解 已知反馈系统特征方程为 D(s)  s3 3s2  4s  24  0 ,判定稳定性。 在命令窗口执行命令 d=[1 3 4 24]; p=roots(d) 2.求系统极点命令 pole 显示结果为 p= -3.6832 0.3416 + 2.5297i 0.3416 - 2.5297i 可用pole命令求出已知闭环传递函数的极点。 调用格式:p=pole(sys) 39
40. 3.5.2 用MATLAB分析系统的暂态性能 1. 求取动态响应曲线 MATLAB以下几条求取线性系统动态响应的命令: step impulse lsin 求取单位阶跃响应命令 求取单位脉冲响应命令 求取任意输入信号响应命令 step 命令的调用格式如下: Impulse和lsin的调 用格式基本相同 (1) step(num,den) or step(sys) (下同) ——作响应图,时间自动给定。 (2) step(num,den,t) ——作响应图,时间人工给定。 (3) [y,x]=step(num,den) ——返回输出变量y、x,不作图。 (4) [y,x,t]=step(num,den) ——返回输出变量y、x、t,不作图,时间自动给定。 or [y,x]= step(num,den,t) ——返回输出变量y、x,不作图,时间人工给定。 40
41. 例3-15 已知典型二阶系统的闭环传递函数为  n2 C (s)  (s)   R ( s ) s 2  2 n s   n2 用step命令绘制 n  1 ,  0, 0.3, 0.5, 0.7,1, 2 时单位阶跃响应曲线。 2 1.8 zt=0 1.6 绘制曲线 1.4 0.3 1.2 0.5 1 0.7 1 0.8 0.6 zt=2 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 2. 求取性能指标 根据性能指标的定义,用MATLAB命令编程求取各性能指标。 41