自动控制原理-第4章 根轨迹

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2020/09/14 发布于 教育 分类

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1. 第4章 根轨迹分析法 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 根轨迹的基本概念 绘制根轨迹的基本法则 参量根轨迹 正反馈回路和零度根轨迹 用根轨迹分析系统性能 MATLAB用于根轨迹分析
2. 4.1 根轨迹的基本概念 4.1.1 根轨迹 根轨迹——指系统中某个参数由0→∞变动时闭环特征根 在s平面上移动的轨迹。 如图系统: 开环传递函数为: Gk ( s )  根轨迹增益: 闭环传递函数为: 闭环特征方程为: 特征根为: Kr K  s (0.5s  1) s ( s  2) K r  2K (s)  C (s) Kr  2 R( s) s  2s  K r D( s)  s 2  2s  K r s1  1  1  K r s2  1  1  K r 2
3. 根轨迹增益与特征根的关系: Kr   j1 当根轨迹增益Kr从零变 化到无穷时,闭环极点 的变化情况如图。 j s2 2 Kr  1 s1 1 0  j1 Kr   
4. l 稳定性:当K r 由 0  K r  变化时,根轨迹都位于s左半平面, 因此,系统是稳定的。 l 动态性能:当 0  K r  1 时,根轨迹在负实轴上,则系统闭 环特征根 s1, 2 是两个负实数,故系统呈过阻尼状态,阶跃 响应无超调;Kr =1,s1, 2 为实数重根,系统呈临界阻尼状 态;Kr >1,s1, 2 为共轭复数根,系统呈欠阻尼状态,阶跃 响应具有衰减振荡特征,且超调量将随Kr值的增大而加大, 平稳性变差。
5. 4.1.2 根轨迹方程 设系统的结构如图所示。 系统的闭环传递函数为 C (s) G (s) G (s)   R ( s ) 1  G ( s ) H ( s ) 1  Gk ( s ) 开环传递函数的一般表达式为 m Gk ( s )  G ( s ) H ( s )  K r  ( s  zi ) n i 1  (s  p j 1 j ) 式中, zi为开环传递函数的零点, pj为开环传递函数的 极点, Kr为根轨迹增益。 5
6. 系统的闭环特征方程式为 1  Gk ( s )  0 或: Gk ( s )  1 m 则有: K r  (s  zi ) n i 1  (s  p j 1 j  1 ) ——称为根轨迹方程 6
7. 4.1.3 幅值条件方程和相角条件方程 由于根轨迹方程是复数方程,由它可派生出: m K r  s  zi 幅值条件方程: n i 1 s p j 1 相角条件方程: m 1 j n  (s  z )  (s  p )  (2k  1) i 1 i j 1 j k  1, 2,... 相角条件方程是确定s平面上的某个点是否在根轨迹上的 必要条件,当s平面上的某个点满足相角方程时,则该点必 在根轨迹上。 幅值条件方程主要是用来确定根轨迹上任意点对应的根 轨迹增益Kr值。
8. 4.2 规则1 绘制根轨迹的基本法则 根轨迹的连续性、对称性 根轨迹是对称于实轴的连续曲线。 由于闭环系统特征方程的根是根轨迹增益Kr的连续函数, 所以当Kr由0→∞连续变化时,特征方程的根必然是连续变化的。 闭环系统特征方程的根必为实根或共轭复数根,即根轨迹 必然位于s平面的实轴上或对称于实轴。
9. 规则2 根轨迹的分支数 根轨迹分支数等于开环极点数n和 开环零点数m中的最大数。 根轨迹是指系统中某个参数由0→∞ 变化时,闭环特 征根在S平面上移动的轨迹,故根轨迹的分支数就是闭环 特征方程根的数目,即特征方程的阶数。特征方程的阶数 为开环极点数n和开环零点数m中最大数。通n≥m ,则根 轨迹的分支数通常为开环极点数n 。 9
10. 规则3 根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环传递函数的极点, 终止于开环传递函数的零点或无穷远。 考虑到根轨迹起始处Kr=0,故根轨迹幅值方程为 m sz i 1 n i s p j 1 j  1 Kr 使等式成立的条件是s=pj 根轨迹终点处Kr→∞。有m条根轨迹终止于开环传递 函数的零点,n-m条终止于无穷远。 10
11. 规则4 实轴上的根轨迹段 实轴上根轨迹段右侧的开环 零、极点个数之和为奇数。 j p2 设系统的开环传递函数为 Gk ( s )  K r ( s  z1) ( s  p1 )( s  p2 )( s  p3 ) s2 2 1 z1 在实轴上p1与z1之间任取一点s1,则各开环 零、极点指向s1的向量如图。 s1 p3 1 p1  3 s1对应的相角方程: 1 3  (s  z )   (s  p ) i 1 i j 1 零、极点分布图 j  1  1   2  3  1  1  180o 满足相角相角方程,即该区段是根轨迹段。 11
12. 例4-1 已知系统的开环传递函数为 K r ( s  3) Gk ( s)  2 s ( s  1)(s  5)(s  8) 试确定实轴上的根轨迹。 解:绘制出的实轴上的根轨迹如图 j p5 8 p4 5 z1 p3 p1 , p 2 3 1 0 
13. 规则5 根轨迹的渐近线 趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定: 渐近线与实轴的夹角 (2k  1) , k  1, 2,... 直到取满n-m个倾角  nm 渐近线与实轴的交点 n a  m  p  z j 1 j i 1 i nm 13
14. 例4-2 设负反馈系统的开环传递函数为 Kr Gk ( s )  s ( s  2)( s  4) 试确定系统的根轨迹趋向无穷远的渐近线,并绘制根轨迹。 解: p1=0,p2= -2, p3= - 4,n=3, m=0,n – m = 3。 实轴上:0~-2、- 4 ~-∞区段有根轨迹。 j 根轨迹的渐近线 :  ( 2k  1)  60 o ,60 o ,180 o , k  0,1,1 3 024 a   2 30 绘制系统的根轨迹如图 。 Kr   p3 p2 4 2 60  Kr   p1 0  Kr  
15. 规则6 根轨迹的分离(会合)点 随着开环增益kr的变动,在s平面上可能会出现几条根轨 迹相会和而后又分离的一些点,这类点称为根轨迹的分离点 或会和点。分离(会合)点实质上就是闭环特征方程的重根。 分离点可由下式求得,即 m 1 1   i 1 d  P d Zj i n 若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹,则这两相邻极点 之间必有分离(会合)点; 如果实轴上相邻开环零点(其中一个可能是无限大零点) 之间有根轨迹,则这两相邻零点之间必有分离(会合)点。15
16. l 例4-3 设负反馈系统的开环传递函数 K r ( s  3) Gk ( s )  ( s  1)( s  2) 试绘制kr 由0 →∞ 变化时系统的根轨迹。 解: p1=-1,p2= -2, z1= - 3,n=2, m=1,n – m = 1。 实轴上:-1~-2、- 3 ~-∞区段有根轨迹。 根轨迹的渐近线 :  (2k  1)  180 ( k  0) 1 j 分离(会合)点: 由 解得 1 1 1   d 1 d  2 d  3 d1  1.6, d 2  4.4 绘制系统的根轨迹如图 。 s   4.4 z1 p2 3 2 s   1.6 p1 1 0 
17. 规则7 根轨迹的出射角和入射角 出射角:为根轨迹在复数起点处的切线与正实轴的夹角。 设系统的开环零、极点分布如图所示,有零、极点 z1,p1,p2,p3。 设p1的出射角为θp1,如图所示。 假设s1为离开p1的根轨迹上的一点, 则s1应满足相角方程 1 3 i 1 j 1 p1 z1 s1 j  p1 p1  p3 p1  z1 p3  (s1  zi )   (s1  p j )  (2k  1)  ( s1  z1 )  ( s1  p1 )  ( s1  p2 )  ( s1  p3 )  (2k  1) p1  p2 p2 当 s1  p1 , ( s1  p1 )   p 1 则有  p1  (2k  1)  ( p1  z1 )  ( p1  p2 )  ( p1  p3 ) 
18. 由此可推得出射角的一般表达式 m n m n i 1 j 1 j l i 1 j 1 j l  l     ( pl  zi )   ( pl  p j )     i    j 入射角:为根轨迹在复数终点处的切线与正实轴的夹角。 入射角的一般表达式为 m n m n i 1 i l j 1 i 1 i l j 1 l     ( zl  zi )   ( zl  p j )     i    j 18
19. 例4-4 设负反馈系统的开环传递函数 K r ( s  2) Gk ( s )  s ( s  3)( s 2  2 s  2) 试确定根轨迹离开复数开环极点的出射角,并绘制出根轨迹。 解: p1=0,p2= -3, p3=-1+j, p4= -1-j, z1= - 2, n=4, m=1,n – m = 3。 j 实轴上:0~-2、- 3 ~-∞区段有根轨迹。 (2k  1)  60o ,180o ( k  0, 1) 1 3  1  1 (  2)   1 p 3 渐近线 :  出射角 :  p   26.6 o p3 2 3 1 4 i 1 j 1 j 3  p 3     ( pl  zi )   ( pl  p j )  p 3  26.6o  p 4  26.6o 绘制系统的根轨迹如图 。 26 .6  3 j z1 45o 2 1.6 K r  7 135  p1 1 90  p4 j 
20. 规则8 根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点,常 常需要求得这一交点和相应的Kr值。 设与虚轴相交的闭环极点为s=jω,代入闭环特征方程得: 1  Gk ( j )  0 解方程即可求得ω, Kr。 20
21. 例4-5 已知系统的开环传递函数为 Gk ( s )  Kr ( s  1.5)( s 2  4 s  8) 试绘制系统的根轨迹。 p1=-1.5,p2=-2+2j, p3= -2-2j, 解: n=3, m=0,n – m = 3。 实轴上:-1.5~-∞区段有根轨迹。 (2k  1) o o     60 ,180 ( k  0, 1) 渐近线 : 1 1.5  2  2 a    1.8 30 3 出射角 :  p 2     ( pl  p j ) j j 3.7 K r  65 P2  14  P1 104  2  1.5 0 14  P3 j 1 j 2  p 2  14o  j 3.7  p 3  14o 与虚轴的交点:  3.7, K r  65 j2 绘制系统的根轨迹如图 。  j2 
22. 规则9 闭环极点之和 在一定条件下,开环极点与闭环极点间有着固定的关系, 可利用这种关系来判别闭环特征根在s平面上的走向,并为 确定闭环极点带来方便。 设n阶系统闭环特征方程可表示为 n  (s  p j 1 m j )  K r  (s  zi ) i 1  s n  a1s n 1  a2 s n  2  L  an 1s  an  ( s  s1 )( s  s2 ) L ( s  sn 1 )( s  sn ) 根据代数方程的根与系数间的关系,次高项系数 n a1   s j j 1 如果满足条件n-m≥2 ,则 n s j 1 n j   pj j 1 22
23. 4.3 参量根轨迹 以非根轨迹增益或非开环增益为可变参数绘制的根轨迹 称为参量根轨迹。 绘制参量根轨迹时,上述关于绘制根轨迹的基本法则依 然是适用的,只是需要预先将参变量变换到相当根轨迹增益 的位置,得到等效的开环传递函数。
24. 例4-6 已知控制系统如图所示,试绘制参数Ta由0→∞ 变化时的根轨迹。 解: 闭环特征方程为 s ( s  2)  2(Ta s  1)  0 将特征方程整理成 ( s 2  2 s  2)  2Ta s  0 方程两边同除不含参量Ta的项,得 等效系统的开环传递函数为 2Ta s 1 2 0 s  2s  2 Gk ( s )  2Ta s s 2  2s  2
25. 按照前述绘制根轨迹的基本规则,即可绘制出系统 测速反馈系数Ta由0→∞变化时的根轨迹。
26. 4.4 正反馈回路和零度根轨迹 正反馈系统的闭环特征方程为 1- G(s) H(s) = 0 G(s) H(s) = 1 根轨迹方程为 其幅值方程与负反馈系统相同,而相角方程则为 m n  (s  z )   (s  p )  2k i 1 i j 1 j (k  0,1, 2....) 因为相角条件常规根轨迹的不同为 0  2k ,故称之 为零度根轨迹。
27. 在绘制根零度根轨迹的规则中,不同于负反馈系统根 轨迹法则的有以下几点: (1)实轴上根轨迹区段右侧的开环零、极点数目之和为偶数。 (2)根轨迹的渐近线与实轴的夹角为  2 k  nm (k  0,1, 2,....) (3)根轨迹的出射角和入射角的计算公式为 m n i 1 j 1 j l  l   ( p l  z i )   ( p l  p j ) m n i 1 i l j 1  l    ( z l  z i )   ( z l  p j )
28. 除具有正反馈结构的系统之外,有些非最小相位系统虽 是负反馈结构,但其开环传递函数的分子或分母多项式中, 的最高次幂的系数为负,因而系统具有正反馈性质。因而要 用绘制零度根轨迹的规则来作根轨迹图。 如某负反馈系统的开环传递函数为 Gk ( s )  K (1  0.5s ) s 2  2s  2 将开环传递函数改写成零、极点形式 Gk ( s )   0 .5 K ( s  2 ) K r ( s  2)   s 2  2s  2 s 2  2s  2 满足零度根轨迹绘制条件。 K r  0.5K1
29. 4.5 l l l 用根轨迹法分析系统性能 4.5.1 用根轨迹确定系统的闭环极点 4.5.2 用根轨迹确定系统性能与参数的关系 4.5.3 增加开环零、极点对系统性能的影响
30. 4.5.1 用根轨迹确定系统的闭环极点 例4-7 已知系统的开环传递函数为 Gk ( s )  Kr s ( s  1)( s  2) 试用根轨迹法求取具有阻尼比   0.5 的闭环共轭极点 和其它的闭环极点,并估算此时系统的性能指标。 j 解: 绘制系统根轨迹如图 Kr  60 j 2, Kr  6 在根轨迹图上作   0.5 的等阻 尼线,它与负实轴的夹角   arccos   arccos 0.5 Kr  p3 p2 s 3 2 1 s1 s2 p1 0   j 2, Kr  6 Kr 
31. 由图中读出等阻尼线与根轨迹相交点 s1, 2  0.33  j 0.58 因为 nm32 s1  s2  s3  p1  p2  p3  3 s3  2.34 s3 2.34   7.09  5 s1 0.33 ——s1,s2为主导极点 闭环主导极点s1,s2来估算系统的性能指标 P  e ts  3  n  / 1 2  e  0.53.14 / 1 ( 0.5 ) 2 3 9 0.5  0.667  16.3%
32. 4.5.2 用根轨迹确定系统性能与参数关系 闭根轨迹图是系统某个参数变化时闭环系统特征根的变化 轨迹,而闭环系统特征根在平面的位置决定了控制系统的性能: (1) 稳定性及稳定条件 由根轨迹图可以确定根轨迹 都位于s左平面时增益Kr的取值范围。 (2)运动形式 由根轨迹图可以确定系统响应为单调 变化或衰减振荡形式时的Kr数值范围。 (3)暂态性能指标 可由根轨迹确定的主导极点来估算。
33. 例4-8 设负反馈系统的开环传递函数 Gk ( s )  K r ( s  2)(s  3) s ( s  1) (1)绘制 K r 由 0   闭环时系统的根轨迹; (2)确定系统暂态响应为衰减振荡形式时的取值范围; (3)在根轨迹上确定系统具有最小阻尼比时的闭环极点。 解 p1=0,p2= -1, z1=-2, z2= -3, n=2, m=2。 分离(会合)点: d1  0.634, d 2  2.366 对应的根轨迹增益值: 绘制出根轨迹图。 K rd 1  0.072, K rd 2  13.92
34. j A 3 p2 z1 z2 d2 2 B 1 j 0.707  p1 d1 O  (2)系统呈欠阻尼状态的根轨迹增益值范围为 0.072  K r  13.92 (3)过原点作与根轨迹圆相切的直线,即最小阻尼比线 求出切点处对应的闭环极点 s1, 2  1  j 0.707
35. 4.5.3 增加开环零、极点对系统性能的影响 1.增加开环零点 原有三阶系统的开环传递函数为 j p3 5 1.7 0 Gk ( s )  Kr s 2 ( s  5) j p1 p3 p2  5 a) a)原系统的根轨迹 j z 1 1.5 2 0 p1 p2  b) b)增加了z1=-2的根轨迹 z1 p3 p1 10 5 p2 0.25 0  c) c)增加了z1=-10的根轨迹
36. 可见,零点的增加,使从原点出发的两条根轨迹左移, 而且增加的零点越靠近虚轴,左移更明显。 从以上的分析可知,选择增加合适的开环零点,可 以使根轨迹向左弯曲或移动,以改善系统的稳定性和快 速性。但零点选择不合适,则达不到改善系统性能的目 的。一般,先根据性能指标的要求确定闭环极点的位置, 再选择增加合适的开环零点。
37. 2. 增加开环极点 原系统的开环传递函数为 Gk ( s)  K r ( s  3) s ( s  1) j j b) z1 3 p2 1 p3 p1 0 a)原二阶系统的根轨迹  6 z1 3 p 2 1 p1 0  b)增加了p3= -6 的根轨迹
38. j j z1 p3 p2 p1 3 2 1 0  c)增加了p3= -2 的根轨迹 z1 p3 p2 p1 3 1 0.5 0  d)增加了p3= -2 的根轨迹 与增加开环零点时的情况相反,在系统的开环传递函数中 增加极点,将会使系统的根轨迹向右弯曲或移动,系统的稳 定性变差。且所增加极点的模值越小,即离虚轴越近,则根 轨迹向右弯曲或移动的趋势越明显,对系统稳定性的影响也 越大。当所增加极点的模值进一步减小至某值后,有可能因 为取值偏大而使得系统不稳定。
39. 4.6 MATLAB用于根轨迹分析 MATLAB中有关根轨迹的函数主要有: (1)rlocus(num,den)或rlocus(sys):绘制给定系 统num,den或sys的根轨迹图 (2)[r, k ]=rlocus(num,den) :返回计算的系统各个 闭环极点值(实部和虚部值)以及对应的根轨迹增益值, 不作图。 (3)[k,pole]=rlocfind(num,den):在已经绘制的根 轨迹图上,获取光标指定位置的根轨迹增益值以及对应 于该增益值所有闭环极点位置.