自动控制原理-第5章 频率特性

ching

2020/09/14 发布于 教育 分类

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1. 第5章 频率特性法 l 5.1 频率特性的基本概念 l 5.2 极坐标图(奈氏图) l 5.3 伯德图 l 5.4 奈奎斯特稳定判据 l 5.5 控制系统的相对稳定性 l 5.6 系统频率特性与时域性能的关系 l 5.7 MATLAB用于频域分析 1
2. 5.1 频率特性的基本概念 5.1.1 频率响应 在正弦输入信号作用下,系统输出的稳态响应称为频率响应。 设无重极点系统的传递函数为 G (s)  M (s) ( s  p1 )( s  p2 ) L ( s  pn ) 当输入为正弦信号时,r ( t )  A sin  t ,则系统输出的拉氏变换为 C (s)  G (s) R(s)  A M (s) . 2 r 2 ( s  p1 )( s  p2 ) L ( s  pn ) s   ki k0 k0    s  j s  j i 1 s  pi n 求拉氏反变换,得 n c(t )   ki e  pit  k0 e  jt  k0 e jt i 1 2 暂态项 稳态项
3. 则系统输出的稳态响应为 其中:k0   c (  )  k 0 e  jt  k 0 e jt A A G(  j ), k0  G( j ) 2j 2j G( j ) 是一个复数,且 G ( j )和G ( j ) 是共轭复数 G( j )  G( j ) G( j )  G( j ) e j ( ) G (  j )  G (  j ) G (  j )  G ( j ) e  j ( ) e j (t  ( ))  e  j (t  ( )) c ( )  Ar G ( j )  2j  Ar G ( j )  sin(  t   ( ))  Ac sin(  t   ( )) 表明:对于一个稳定系统,输入正弦信号时, 系统的稳态输出信号,即频率响应是与输入 同频率的正弦信号,但有变幅和移相。 r(t) c(t) Ar r(t) Ac 0 cs (t)  t 3
4. 5.1.2 频率特性的定义 定义:线性定常系统零初始条件下,系统频率响应与输入信号的复 数比,常用 G ( j ) 或  ( j ) 表示: G ( j )  C ( j ) R ( j ) 频率特性的表示  G ( j )  A( )  G ( j )   G ( j )   ( )  G ( j )  G ( s ) s  j 称为的幅频特性,它等 于频率响应输出幅值与 输入信号幅值之比; 称为的相频特性,它是 稳态输出 C ( j )对输入 R ( j ) 的相位移。 还可表达为 G ( j )  A( ) ( )  A( )e j ( ) 4
5. 频率特性 G ( j ) 的幅值和相位都是 的函数,即频率特性反映 了系统对不同频率信号的变幅和移相特性,描述了系统对不同频率正 弦信号的传递能力。 频率特性与微分方程和传递函数一样,是系统在在频域的数学模 型,它描述了系统的内在特性,与外界因素无关。 各种数学 模型之间 的关系 5
6. 频率特性 G ( j ) 是复变函数,它在复平面上的向量如图。 Im 频率特性常用解析式 G( j) Q( ) A( ) 幅频-相频形式: G( j)  G( j) G( j)  A() ()  ( ) 0 指数形式: P( ) Re G ( j )  G ( j ) e jG ( j )  A( )e j ( ) 实频-虚频形式: G ( j )  Re  G ( j )   j Im  G ( j )   P ( )  jQ( ) 实频、虚频和幅 频、相频的关系 A( )  P ( ) 2  Q ( ) 2  ( )  arctan Q( ) P( ) 6
7. 如图所示RC电路网络,其传递函数为 G (s)  频率特性 U c (s) 1 1   U r ( s ) RCs  1 Ts  1 1 1  e  j arctan T jT  1 T 2 2  1 1 jT  2 2  2 2  T 1  T 1 G ( j )  G ( s ) s  j  幅频、相频 A( )  实频、虚频 P ( )  频率响应 1 T  1 2 2 1  2T 2  1 ,  ( )   arctan T Q ( )   T  2T 2  1 uc (t )  Ar  A( ) sin[ t   ( )] 当T  2,ur (t )  2sin t 代入参数得: A( )  0.447 则 Ar  2,   1  ( )  63.4o uc (t )  0.89 sin(t  63.4 )  7
8. 5.1.3 频率特性的图形表示 1. 极坐标图 —— 也称幅相频率特性图、奈奎斯特(Nyquist)图,简称奈氏图。 它是当  由0变化到∞时,G ( j )向量端点在复平面上运动形成的轨 迹图。通常规定从正实轴开始按逆时针方向作为相角的正值。 极坐标图的绘制,可以通过幅频特性和相频特性计算描出,也可 以由实频和虚频计算描出。 Im 由表5-1数据绘 制出的RC网络 的极坐标图:   0 0.5 复平面 0.5  0 1 45o    1T Re 本教材在以下的极 坐标图绘制中一般 采用幅频特性和相 8 频特性表达。
9. 2.伯德(Bode)图 ——又称对数频率特性图 伯德图 对数幅频特性 L( )20 lg A( ) 对数相频特性  ( ) 单位:dB 单位:() 纵坐标均按线性分度 横坐标是角频率  ,按 lg 分度,10倍频程,用dec 表示。 由表5-1数据绘 制出的RC网络 的伯德图: 9
10. 3.尼柯尔斯(Nichols)图 ——又称对数幅相频率特性图。 它是由对数幅频特性 L ( )  20 lg A( )( dB ) 为纵坐标和对数相 频特性  ( ) 为横坐标而绘制成的曲线,横坐标和纵坐标均是线性 分度。 由RC网络的伯 德图绘制的尼 柯尔斯图 : 10
11. 5.2 极坐标图(奈氏图) 5.2.1 典型环节的极坐标图 控制系统所包含的典型环节有:比例、积分、惯性、振荡、微分、 一阶微分、二阶微分以及延迟等环节。 典型环节的频率特性 环节 G( j ) A( )  ( ) 比例 K K 0 积分 1 j 1  90 惯性 1 jT  1 振荡 1 1  T 2 2  j 2 T 1 (T )2  1 1 2 2 (12T 2)(2  T)  arctan T  arctan 2T 1   2T 2 11
12. 典型环节的频率特性及其奈氏图(续) 环节 微分 一阶微分 G( j ) j jT  1 二阶微分 1T 22  j2 T 延迟 e  j A( )  ( )  90 arctan T (T )2  1 2T arctan (1 T )(2  T) 1   2T 2 2 2 2 1 2  振荡环节频率特性有几个特点: 1)振荡环节的频率特性 A( ) ( ) 由 10  0  180 。 2)   1 T   n 时极坐标曲线 A( ) ( )  1 (2 )   90 与负虚轴相交。 3)相频特性须分低频和高频两种计算 1  2    1  2  r  T 4)幅频特性的最大值点,也称为谐振点:  1 M r   2 1   2 0  1 2 12
13. 5.2.2 控制系统开环极坐标图 1. 确定起点和终点 概略绘制 开环极坐 标图方法: 2. 确定与负实轴的交点 3. 确定变化趋势 1. 确定开环极坐标图的起点和终点 设系统的开环频率特性为: Gk ( j )  m1 m2 i 1 n1 k 1 n2 K   ( jTi  1) [Tk 2 ( j ) 2  2 k Tk ( j )  1] s   ( jT j  1) [Tl 2 ( j ) 2  2 lTl ( j )  1] j 1 l 1 其中: m1  2m2  m,   n1  2n2  n, n  m 起点: Gk ( j 0)  K  ( j ) 终点: (当 n  m时 )  K      90o lim Gk ( j )  0  (n  m)  90o   起点位置与系 统类型有关 终点相角与 (n-m)有关 13
14. Im Im 0  2 0  3 nm4 0 0  0  1 0 开环极坐标图的起点 nm3 Re nm2 0 Re nm1 开环极坐标图的终点 14
15. 2.确定极坐标图与负实轴的交点 有两种方法: 1)频率特性用幅频-相频形式表示时,令  ( )   ,解得交点 频率后代入幅频特性求出交点的幅值. 2)频率特性用实频-虚频形式表示时,令 Im[G ( j ) H ( j )]  0 , 解得交点频率后代入频率特性的实部中求出对应实部. 3.确定极坐标图的变化趋势 由频率特性的幅频、相频或实频、虚频确定奈氏图以何种趋势、 单调性由起点进入终点,或图所在的象限区。 15
16. 例5-1 设系统开环传递函数为 Gk ( s)  统概略开环极坐标图。 解 K ,试绘制系 s(T1s  1)(T2 s  1) 系统的幅频特性和相频特性为 A( )  K  (T1 ) 2  1 (T2 ) 2  1 ,  ( )  90o  arctgT1  arctgT2 1) 起点和终点 起点:   0, Gk ( j 0)    90 o 终点:   , lim Gk ( j )  0  270o Im    KT1T2 T1  T2 2) 负实轴穿越点 令 ( )  180, 得:   奈氏图与实轴交于 ( 0 1 , A( )  KT1T2 T1T2 T T KT1T2 , j0) T1  T2 1   Re 2  0 3) 负相角增大趋势  ( ) : 90o  270o 由以上计算和分析作出系统的极坐标曲线如图。 16
17. 5.3 伯德图 伯德图实现了横坐标的非线性压缩,便于在较大频率范围反映 频率特性的变化情况。而且伯德图采用了对数,将幅值的乘除运算 简化为加减运算,大大简化了频率特性的计算。这些特点使伯德图 成为了控制系统设计的有效工具,得到了广泛的应用。 将系统的传递函数按典型环节分解 N G ( s )   Gi ( s ) 式中,N为典型环节的个数。 i 1 则系统频率特性为 N G ( j )   Gi ( j ), A( )  i 1 N  A ( ), i 1 i N  ( )    i ( ) i 1 系统对数幅频特性为 N N i 1 i 1 L ( )  20 lg A( )   20 lg Ai ( )   Li ( ) 典型环节的 对数频率特 性叠加 17
18. 5.3.1 典型环节的伯德图 1.比例环节 其对数幅频特性和对数相频特性分别为 L ( )  20 lg K  ( )  0 L( ) 是一条高度为 20 lg K 的水平线。 L( )(dB) 20 20 lg K K 1 0 20 K 1  ( )(deg) 90o 0o 90o 1 0.1 2.积分、微分环节 积分、微分环节的频率特性 1 G ( j )  ;   1, 2,L  ( j ) L ( )    20 lg   ( )    90 对数幅频特性斜率为   20dB/dec 的直线。 10  (red / sec) L( )(dB) 40   2 20   1 0  20  40  2 0.1 1 10 ()(deg) 100   2 180 o   1 90o 0o  1 90 o  180 o  1  2 0.1 1  ( rad / sec) 10 100 18
19. 3. 惯性环节 惯性环节的对数幅频和相频特性 L( )  20 lg (T ) 2  1  ( )   arctan T 对数幅频特性渐近线:   1 T ①低频渐近线, L ( )  20 lg 0  1  0dB ②高频渐近线,   1 T L( )  20 lg 0  (T ) 2  20 lg TdB 是一条斜率为-20dB/dec的直线 在转折频率   1 T 处有最大误差 L()/dB 10 渐近线 0 3 10 精确曲线 - 20dB/dec 20 ()(deg) 45o 0o 45o 90o 0.1T 1T 10 T (red /sec) L (1 T )  20 lg 1  1  20 lg1  3dB 可采用逐点计算描点或模板的方法绘制对数相频特性。 19
20. 4. 一阶微分环节 一阶微分环节的对数幅频和相频特性 L( )  20 lg (T ) 2  1  ( )  arctan T 一阶微分环节和惯性环节的 20 L()/dB 10 3 0 频率特性互为到数,它们的对数 10 幅频特性和对数相频特性都相差 90 一个符号,所以一阶微分环节的 45o 伯德图和惯性环节的伯德图对称 0o 于横坐标。 精确曲线 渐近线 ()(deg) o 45o 0.1T 10 T 1T (red /sec) 20
21. 5.振荡环节 振荡环节的对数幅频和相频特性 L ( )  20 lg 1   2T 2    2T   ( )   arctan 2 2 2T 1   2T 2 对数幅频特性渐近线:   1 T ①低频渐近线, L( )  20 lg1  0dB ②高频渐近线,   1 T L( )  20 lg  T 2  2 2  40 lg T 在转折频率   1 T处的误差 L(1 T )  20 lg 2 ——与阻尼比有关   0.707 ,时存在谐振 1  2    r T  1  2   1 M r   2 1   2 0  1 2 21
22. 6. 二阶微分环节 振荡环节的对数幅频和相频特性 L ( )  20 lg  ( )  arctan 1   T    2T  2 2 2 2 2T 1   2T 2 二阶微分环节和振荡 环节的频率特性互为到数 ,它们的对数幅频特性和 对数相频特性都相差一个 符号,所以二阶微分环节 的伯德图和振荡环节的伯 德图对称于横坐标。 22
23. 7.延时环节 对数幅频特性和相频特性分别为 L( )  20 lg 1  0dB  ( )     57.3 (  ) L( )[dB] 0   ( )[ ] 0  1  57.3 23
24. 5.3.2 控制系统开环伯德图 L( ) 的作图步骤为: 1)转折频率标注。将传递函数进行典型环节分解,将各典型 环节的转折频率由小到大依次标注在频率轴上。 K 2)绘制低频段渐近线。 L( )   0  20 lg   20 lg K   20 lg    1, L ( )  20 lg K 斜率  20dB/dec 绘制方法:确定   1, L ( )  20 lg K 之点, 过该点画斜率为   20dB/dec 的直线。 3)绘制中、高频段渐近线。 将低频段直线沿着频率增大的方向延伸,每遇到一个转折频率,根据 该环节的对数频率特性改变一次直线的斜率,直至最后一个转折频率。 4)误差修正,需要时按照各典型环节的误差曲线进行修正。  ( ) 的作图: 选择若干个频率计算对应的相位,取点连成光滑曲线。 24
25. 例5-2 已知系统开环传递函数为 Gk ( s )  4(0.5 s  1) s (2 s  1)(0.01s 2  0.1s  1) 试绘制系统开环对数频率特性曲线。 解:1.作 L( ) 1)系统有放大、积分、振荡、惯性、一阶微分5个基本环节, 转折频率 1  0.5  2  2,  3  10 2)低频段直线。 确定点:   1, L( )  20 lg 4  12dB 斜率:-20dB/dec (1型系统) 3)绘制中、高频段渐近线。 斜率转折:-20dB/dec— -40dB/dec— -20dB/dec— -60dB/dec 4)误差修正。如果需要可以进行误差修正,计算谐振频率及峰值 r  n 1  2 2  9. 1rad / s Mr  1 2 1   2  1.75  4.8dB 25
26. 2.作  ( )  ( )  90  arctan 2  arctan 0.5  arctan 0.1 1  0.01 2 由表5-2各频率点的相位值,取点连成光滑曲线。 L (  )(d B ) 例5-2系统 伯德图 c ——截止频率的计算: 由 L(c )  0 ,即 A ( c )  得 4 1  c  2 c c  2 40 [  20] 20 12 [  40] c 0 [  20] Mr  20 [  60]  40  ( ) ( d e g ) 0o  90 o  180 o  270 o 0.1 0.5 1 2  (red / sec) 10 1 0 026
27. 5.3.3 由伯德图确定传递函数 1. 最小相位系统和非最小相位系统 最小相位系统——在s右平面上既无极点也无零点,也没有滞后 环节的系统; 反之,则称其为非最小相位系统。 G1 ( s )  T2 s  1 T1s  1 G2 ( s )  1  T2 s T1s  1 G3 ( s )  T2 s  1 T1s  1 三个系统的幅频特性完全相同 , L ( ) / dB 0 9 0 0o 最小相位系统的传递函数、幅频 特性和相频特性之间存在着唯一确定 的关系   20dB / dec 相频特性相差很大,最小相位系统的相 角变化范围最小 。 1 T2 1 T1  90 o o 1 3 2  180 o 27 
28. 2. 最小相位系统的传递函数 由对数幅频渐近特性求传递函数是伯德图曲线绘制的逆问题。 例 5-3 设某最小相位系统的对数幅频特性渐近线如图所示,试确定 系统的传递函数。 K ( s  1) G (s)  1 1 s( s  1)( s  1) 0.4 10 由 得 L( )  5  20 lg K   20 lg   0 20dB/dec 40dB/dec 20lgK 0 0.4 1 5  10 20dB/dec K 5 系统的 传递函数 L()/ dB 40dB/ dec 5( s  1) G ( s)  s (2.5s  1)(0.1s  1) 28
29. 5.4 奈奎斯特稳定判据 5.4.1 幅角定理 设F(s)为一单值复变有理函数。在s平面上 j s s1  s2 任取一条不通过F(s)的任一零点和极点的封闭 0 路径Γ,当s从封闭路径Γ上任一点起顺时针沿 s3  Γ运动一周回到该点时,则对应F(s)平面上的 a) 映射ΓF亦会是一条封闭路径。 Im 幅角定理 设s平面封闭路径Γ包围了F(s)的 Z 个零 点、 P 个极点,则当s沿Γ按顺时针方向运行一周时, 平面上的映射ΓF逆时针包围原点的圈数为: R=P–Z  F (s) F ( s1 ) F F ( s2 ) 0 F ( s3 ) 当R<0时,则Z > P,表示ΓF顺时针包围F(s)平面 的原点,R =0,则Z = P表示不包围F(s)平面的原点。 Re b) 29
30. 5.4.2 奈奎斯特稳定判据 设如图所示系统的开环传递函数为 Gk ( s )  G ( s ) H ( s )  特征方程: F (s)  1  Gk (s)  M (s) N (s) N ( s)  M ( s) N ( s) K1 ( s  s1 )( s  s2 ) L ( s  sn )  ( s  p1 )( s  p2 ) L ( s  pn ) 可见 1) F(s)的零点数和极点数相等,都是n个; 2) F(s)的零点 s1 , s2 L sn 为特征方程的根,即闭环系统的极 点(判稳欲知) ; 3) F(s)的极点 p1 , p2 , L pn 开环传递函数的极点(已知) ; 30
31. 1. 奈氏路径 为了判断系统的稳定性,可以取一个包围整个右半s平面的封 闭路径Γ,就可以通过其在F(s)平面的映射ΓF了解F(s)的零点, 即特征根位于右半s平面的数目Z。 当Gk(s)无虚轴上的极点时,可选取如图所示包围 j j  整个右半s平面闭合路径Γ,s按顺时针方向沿着 j 0   j   j  j 0 绕行,其中  j   j 是沿半径无穷大的半圆弧绕行。这个闭合路径Γ称 R 0 为奈氏路径。   j 31
32. 2.奈奎斯特稳定判据 若奈氏路径Γ包围了F(s)的Z个零点和P个极点。由应用幅角原理可 知,当s 按顺时针方向沿奈氏路径Γ运行一周时,其在F(s)平面上的映射 曲线ΓF将逆时针围绕着坐标原点旋转R周,且 R = P – Z 若R=P,则Z=0,F(s)没有的零点,即闭环极点在右半s平面,闭环系统是 稳定的。 s 按顺时针方向沿奈氏路径Γ运行一周, 由 j 0  j   j  j 0 , 其在F(s)平面上的映射即为 F (s) s  j : 由0      0 F ( j ) Im 由于 F ( j )  1  Gk ( j ) 所以 Gk ( j )  F ( j )  1  F ( j ) 0 Im 1 Re 1, j 0  F平面的原点即Gk平面的(-1,j0)点 Gk ( j ) 0 Re  32
33. s 按顺时针方向沿奈氏路径Γ运行一周, 由 Gk (s) s  j :   0      0  Gk ( j ) j 0  j   j  j 0, ——称为奈奎斯特曲线。 闭环系统的稳定性就可以通过奈奎斯特曲线对点(-1,j0)的包 围情况来判断,这就是奈奎斯特稳定判据: R = P – Z, Z= P –R =0 —— 系统稳定 闭环系统稳定的充分必要条件是:系统的奈奎斯特曲线逆时针 包围(-1,j0)点的圈数等于开环传递函数的正实部极点数P 。 对于最小相位系统,P = 0,系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线不 包围(-1,j0)点。奈氏曲线不包围(-1,j0)点,则系统稳定;反之, 奈氏曲线包围(-1,j0)点,系统不稳定(s右平面特征根数Z=P-R) ;若 33 奈氏曲线穿越(-1,j0)点,系统临界稳定。
34. 例5-4 系统的开环传递函数为 Gk ( s)  2 ( s  1)(5s  1) , 试用奈氏判据判定闭环系统的稳定性. 解 系统两个开环极点-1和-0.5,都为负实数 ,即P=0。 系统开环频率特性 开环奈氏图:起点 终点 Gk ( j )  2 ( j  1)( j 5  1) Im Gk ( j 0)  20o Gk ( j) lim Gk ( j )  0  180o   与负实轴无交点,再根据对称性作图 。 1, j0  0  2 0 Re 由图可知,奈氏曲线不包围(-1,j0) 点,即R=0,所以Z=P-R=0。闭环系统是 稳定的。 34
35. 例 5-5 已知单位反馈系统的开环传递函数 Gk ( s)  K , ( s  2)( s 2  2 s  5) 试用奈氏判据分别确定K=20和K=52时闭环系统稳定性。 解 系统的三个开环极点-2、-1±j2都在s左半平面,P=0 A( )  K  ( )   arctan 作开环 奈氏图 Im  2  4 (5   2 ) 2  4 2 K  2  arctan 2 5 2 起点 Gk ( j 0)  0o 10 : Gk ( j )  0  270o 终点:lim  与负实轴交点:   3, Gk ( j ) K ( , j 0) 26 由对称性作出K=20和K=52时系统的奈奎斯  0   2 1 0 1 2 3 4 5.2 K  20 K  52 特曲线如图。 判断稳 定性 K=20,R=0=P,系统稳定。 K=52,R=2≠P,系统不稳定。 35 Re
36. 3.含有积分环节系统的奈氏判据 含有积分环节系统,因其有开环极点位于s平面的坐标原点, 应用奈奎斯特稳定判据时选择如图5-23b所示的奈氏路径Γ,这时 的奈氏曲线还应加上小半圆弧的映射。 j 设系统的开环传递函数为 m Gk ( s)  K  ( i s  1) i 1 n  s  (Tl s  1)   j 0  0 ,n  m l 1 s沿小半圆弧绕行时,s j  e j(其中   0 ) 0   j 0 m 则 Gk ( s ) s  e j  lim  0 K  ( i e j  1)   e i 1 n  j  (T  e l 1 l j  1)  lim  0 K   e  j  j 可见,当s从j0-沿无限小半圆弧到j0+时,θ由-90°→0°→ +90°逆时针转过 180°时,其映射就是一个顺时针转过ν.180°的半径为无穷大的圆弧。 36
37. 例 5-7 设系统开环传递函数为 Gk ( s)  K , s(Ts  1) 试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性。 解 系统两个开环极点0和1/T, 1/T位于s右半平面 ,即P=1。这是 一个1型系统,奈氏路径应是图5-23b所示的闭合曲线Γ。 A( )  K  (T  ) 2  1 ,  ( )  270o  arctanT  起点 Gk ( j 0 )    270o 终点 lim Gk ( j )  0  180   0 Im    o   1 0 Re 与负实轴无交点,作出奈奎斯特曲线(实线)如 图所示。   0 增补1型系统奈氏路径小半圆的映射:从的映射点   0 开始顺时针转过 180 到映射点   0 的无穷大圆弧,如图 虚线所示。 可见,奈氏曲线顺时针包围(-1,j0)1次,R=-1≠P,系统不稳定。 37
38. 4. 正、负穿越表示的奈氏判据 因奈奎斯特曲线对称于实轴,为简便起见,在用奈氏判据判断 系统的稳定性时,常常只画出部分曲线。 设N为   0   时开环奈氏曲线逆时针包围(-1,j0)点的圈数: N R PZ  , 2 2 Z  P  2N Im N 1 正、负穿越的概念—— 1 正穿越—从上向下穿过 (-1,j0) 点左侧负实轴,用N+表示; 负穿越—从下向上穿过 (-1,j0) 点左侧负实轴,用N-表示; 起始于负实轴或终止于负实轴时,穿越次数定义为0.5次。 则有: N  N  N  0 Re N  0.5 N 1 R PZ  2 2 正、负穿越概念表示的奈奎斯特稳定判据: 闭环系统稳定的充要条件:当ω=0→∞时,开环奈奎斯特曲线在点 (-1,j0)左侧负实轴上正、负穿越的次数之差为P/2。 38
39.  1 P0 Im 1 Im     0 0 0 1 Re  2 P0    0 0 Re   0 a ) N   1, N   1, N  0 b) N   0, N   1, N  1   0 1 0 Im  1 P 1   0 Re 图5-29 有积分环节系统的正、负穿越 39
40. 5.4.3 伯德图上的奈奎斯特稳定判据 系统极坐标图与伯德图之间的对应关系 : 1)极坐标图上单位圆与伯德图上的0dB线相对应,单位圆的外 部对应于L( )  0 dB,单位圆的内部对应于 dB。 L( )  0 2)极坐标图上负实轴与伯德图上的   180  线相对应。 Im L() / dB 1, j 0  0 0 0 Re  L ( )  0  () 0   180  a) b) 40
41. 伯德图上的正、负穿越 开环奈氏曲线对(-1,j0)点左侧负实轴的正、负穿越,对应于 伯德图上,在 L( )  0 dB的频段内相频特性曲线  ( ) 对 180线的 穿越: 正穿越——相频特性曲线从下而上对 180的穿越; 负穿越——相频特性曲线从上而下对 180的穿越。 伯德图上的奈奎斯特稳定判据: 设P为开环传递函数正实部极点个数,闭环系统稳定的充要条件是, 当   0   时,在开环对数幅频特性上 L( )  0 dB的频段内,对数相频 特性  ( ) 穿越 180 线的次数 N ( N  N   N  ) 为P/2。 41
42. K s( s  1)(0.2 s  1) 试用伯德图分别确定K=2和K=10时闭环系统的稳定性。 例5-7 反馈系统的开环传递函数为 Gk ( s)  系统转折频率为 1  1, 2  5 。绘制 K=2和K=10时的 伯德图如图。 解 本系统无s右平面开环极点,P=0。 系统的对数相频特性曲线与K无关,可解得相频特性在ω=2.2时由上 而下穿越-180°线。 K=2时, c  1.4 ,在 L( )  0 的频段内无穿越,N=0=P/2,闭环 系统稳定。 K=10时, c  3.2,在 L( )  0 的频 段内有一次负穿越,N-=1, N= N+-N-= -1≠P/2 闭环系统不稳定。 42
43. 5.5 控制系统的相对稳定性 5.5.1 相位裕量 幅值穿越频率  c—— 系统开环幅频特性为1时的角频率,也称 为截止频率或剪切频率。即 L( )dB A(c )  1, L(c )  0 Im 单位圆 相位裕量——幅值穿越频率 时的相频特性  ( c ) 与-180°之差 称为相位裕量,常 用表示。   180    ( c ) 0 1  ( c )  0 c G ( j ) Re 180 相位裕量越大,系统的相对稳定性越好,一个 良好的控制系统,一般要求   40o : 60o。 c   ( )  0  43
44. 5.5.2 幅值裕量 相位穿越频率 g ——系统开环相频特性等于-180°时所对应 的角频率。即 Im  ( g )  180 幅值裕量——在系统的相 位穿越频率处开环幅频特性的 倒数,称为幅值裕量,用 h表 示。有 h 1 A( g ) 在伯德图中,幅值裕量 以分贝表示: h  20 lg A( g )   L( g ) 1 h L( )dB h 1 0 h0 1 g G( j)   ( ) Re 180 g 幅值裕量物理意义:稳定系统的开环幅 频特性增大 h 倍,系统将达到临界稳 定状态。 44 
45. 例5-8 反馈系统的开环传递函数为 Gk ( s )  10(0.5s  1) s ( s  1)(0.1s  1)(0.05s  1) 试求系统的相位裕量和幅值裕量。 解 本系统为四阶系统,由开环伯德图计算裕量。 转折频率为 1  1, 2  2, 3  10, 4  20 ,且 20lg K  20 dB,低频段斜率 为 20dB / dec ,绘制伯德图如图所示。 40  c 在转折频率[2,10]之间,由 A(c )  10  0.5c 1 c  c  1  1 [40] [20] 0 h 20 解得 c  5, (c )  141.1 ,   38.9 , o 令  ( g )  180 或由试探法求得  g  13 h   L( g )  20 lg [20] 20 o 所以 L ( )(dB ) [40] [60] 40 60  ( )(deg) 0o 90o  180o 10  0.5 g  g   g  0.1 g  10.6dB 270o 0.1 1 2  c 10  g 20  ( red / sec) 100 45
46. 5.6 利用频率特性分析系统的性能 5.6.1 开环频域指标与时域性能指标的关系 1. 二阶系统开环频域指标与时域指标的关系 典型二阶系统的系统的开环传递函数 n 2 K G (s)   s (Ts  1) s ( s  2n ) 二阶系统开环频率特性为 G ( j )  A( )   j ( j  2 n ) 2 n 典型二阶系统结构 n2   2  4 n2  ( )  90  arctan  2n 46
47. (1)  和  p的关系 c  n 令A(c )  1,可得 4 2  1  2 2   180   ( c )  arctan 2 4 2  1  2 2 可见  只与  有关,并可用以下方程近似表示   100 (2) c和 由 ts  t s c  3  t s 的关系 3  n  阻尼比  越大,相 位裕量  越大,超调 量  p 越小,系统的 相对稳定性越好。   0.05 6 4  1  2  tan  2 2 可见,c 反映了系统的快速 性。在阻尼比相同,即相位裕 量相同时,c 越大,t s 越小, 系统响应速度越快。 47
48. 2. 高阶系统开环频域与时域指标的关系 对高阶系统来说,很难准确推导出开环频域指标与时域指标间的 关系式。在控制工程的分析与设计中,通常采用以下两个经验公式 来近似估算: 1  p  [0.16  0.4(  1)] 100% sin  ts  (35    90 )  1 1 [2  1.5(  1)  2.5(  1)2 ] c sin  sin  (35   90 ) 48
49. 5.6.2 基于伯德图的系统性能分析 利用伯德图分析和设计系统时,常将开环频率特性分成低、 中、高三个频段 1.由低频段分析系统的稳态性能 低频段特性由积分环节和开环增益 决定。低频段斜率越负,位置越高,对 应的积分环节数目越多,开环增益越大 ,则闭环系统在稳定的条件下,稳态误 差越小,稳态精度越高。 L()/ dB 20 40 20 0 因此低频段表征了闭环系统的稳态 性能。 c  40 60 低频段 中频段 高频段 49
50. L()(dB) L()(dB) [20] 20lgK [ 20] 20 lg K 0 [ 40] 0  0  K 1  [40] 0型系统,K p  K , K v  K a  0 1型系统, K p  , K v  K , K a  0 L()(dB) [40] [20] 0 0  K 20lgK 1  [20] 2型系统, K p  K v  , K a  K 50
51. 2.由中频段特性分析系统的动态性能 —— 指 c 附近的区段 中频段 c 的大小决定系统响应速度的大小, c 越大,系统快 速性越好;相位裕量  影响系统的相对稳定性, 越大,系统的相 对稳定性越好。 经验表明:为了使闭环系统稳定并具有足够的相位裕度,开环 对数幅频特性最好以-20dB/dec的斜率通过0dB线;如果以-40dB/dec 的斜率通过0dB线,则闭环系统可能不稳定,即使稳定,相位裕度往 往也比较小;如果以-60dB/dec或更负的斜率通过0dB线,则闭环系 统不稳定。 当 L( ) 以-20dB/dec的斜率穿越0dB线时,-20dB/dec斜率段的 宽度越大, 越大,系统平稳性越好。 51
52. 3.由高频段特性分析系统的抗扰性能 高频段主要反映控制系统的抗扰性能。 由于系统高频开环幅频值小,即 G ( j )  1 ,故对单位负反馈系统有  ( j )  G ( j )  G ( j ) 1  G ( j ) 因此开环幅频特性在高频段的幅值直接反映了系统对输入端高频 干扰信号的抑制能力。高频段特性分贝值越低,系统对高频干扰信号 的抑制能力就越强。 52
53. 5.6.3 闭环频域指标与时域性能的关系 1. 闭环频率特性及其性能指标 在工程实践中也常用闭环频率特性来分析和设计系统。 C ( j )  ( j )   M ( )e j ( ) R( j ) 闭环幅频特性 M ( ) 的典型形状如图, M() Mm M(0) 可定义如下闭环频域指标。 (1) 零幅幅值 M (0) ——反映了系统的稳态精度 (2) 谐振峰值 M r ——表征了系统的相对稳定性 0 3dB r b  M r  M m M (0) (3) 谐振频率 r (4) 带宽频率 b ——反映了系统暂态响应的速度(快速性) 53
54. 2.二阶系统闭环频域指标和时域指标的关系 对于二阶系统,其时域指标与闭环频域指标之间也有确定的关系。 闭环传递函数为 其闭环频率特性为 M ( )   n2 C (s)  R( s ) s 2  2 n s   n2 C ( j ) 1   M ( )e j ( ) 2 R ( j )     1  2   j 2 n  n  1 2  2     1   2     2   n   n  2 ,  ( )   arctan 2 / n 1  ( / n ) 2 (1) M r和 p 的关系 令(dM ( ) dt )  0,可得:  r   n 1  2 2 (0    Mr  Mm  1 2 1   2 1 ) 2 可见 M r 只与  有关,与  p 通 过阻尼比有唯一确定的关系, M r 越大,阻尼比越小,系统 54 的振荡越激烈,平稳性越差。
55. (2)  b 、 r 和 t s 的关系 令M (b )  0.707,可得  b   n 1  2 2  2  4 2  4 4 由 ts  3 (  0.05) n bts  3  r t s  1  2 2  2  4 2  4 4 3  1  2 2 b、r 和 t s 的关系如同 可见, c和 t s 一样,反映了系统的 快速性。阻尼比相同,即谐振 峰值相同时,b 、r 越大, t s 越小,意味着系统动态过程 迅速,快速性好。 55
56. 3.高阶系统闭环频域与时域指标间的关系 对于高阶系统,难于用解析法找出频域指标和时域指标间的定 量关系。一般常采用下面的经验式近似表示高阶系统性能指标间的 关系: Mr  1 sin   p  0.16  0.4( M r  1) ts  (1  M r  1.8)   2  1.5( M r  1)  2.5( M r  1) 2  c (1  M r  1.8) 56
57. 5.7 MATLAB用于频域分析 5.7.1 用MATLAB命令绘制频率特性曲线 1.伯德图绘制 bode bode 命令的常用调用格式如下: (1) bode (num,den) or bode (sys) (下同)。 (2) bode (num,den,w) (3) [mag,phase,w]=bode(num,den) 格式(1):绘制系统伯德图,频率范围由MATLAB自动确定 格式(2):在人工定义频率w的范围内绘制系统的伯德图。可用命令 w =logspace(a,b,n)来定义在十进制数10a和10b之间,产生n个十进制对 数分度的频率点 格式(3):返回变量格式。返回输出变量幅频特性mag、相频特性phase, 57 频率向量w,不作图。
58. 2.奈氏曲线绘制 nyquist 绘制奈氏曲线的命令的调用格式与bode基本相同: ⑴ nyquist (num,den) or nyquist (sys) (下同) ⑵ nyquist (num,den,w) ⑶ [re,im,w]nyquist (num,den) 注意:nyquist命令中格式(3)返回的是实部re和虚部im 。 例5-9 已知系统的开环传递函数为 Gk ( s)  500(s  10) s( s  1)( s  20)( s  50) 试用MATLAB绘制系统的开环对数频率特性曲线和奈氏曲线。 58
59. 5.7.2 用MATLAB命令分析系统的相对稳定性 用MATLAB求系统的相位裕量和幅值裕量的命令为margin, 调用格式: (1) margin(num,den) or margin (sys) (下同) (2) [gm,pm,wg,wp]=margin(num,den) (3) [gm,pm,wg,wp]=margin(m,p,w) 格式(1):由给定的数学模型,作伯德图,并在图上标注幅值裕量gm (单位为dB)、相位裕量pm、相位穿越频率wg和幅值穿越频率wp。 格式(2):返回变量格式,不作图。返回幅值裕量、相位裕量、相位穿 越频率和幅值穿越频率。 格式(3):在定义频率w范围的情况下返回变量格式,不作图。 59