自动控制原理-第7章 非线性系统

ching

2020/09/14 发布于 教育 分类

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1. 第7章 非线性控制系统 l l l l l 7.1 非线性系统概述 7.2 描述函数法 7.3 相平面法 7.4 非线性特性的利用 7.5 基于Simulink的非线性系统分析
2. 7.1 非线性系统概述 7.1.1 非线性系统的特征 当系统中含有一个或多个具有非线性特性的元件时,该系统称为 非线性系统。 非线性特性普遍存在于控制系统中。非线性是宇宙间的普遍规律, 而线性只是对实际情况在一定条件下理想化的近似。 对于线性系统,描述其运动状态的数学模型是线性微分方程,它 的根本标志就在于能使用叠加原理。而非线性系统的数学模型为非 线性微分方程,不能使用叠加原理。
3. 1. 稳定性分析复杂 非线性系统的稳定性 和响应形式除了与系 统的结构和参数有关 外,还与输入信号的 大小及系统的初始条 件有关。
4. 2. 可能出现自激振荡 非线性系统响应除了发散和收硷两种运动状态外,系统本 身还会产生幅值、频率与自身结构参数有关的自振运动 3. 频率响应复杂 非线性元件的正弦响应会产生非线性畸变,输出中除了会 有与输入同频率的基波成分外,还有其它各种谐波分量。
5. 7.1.2 非线性系统的分析与设计方法 l 1.相平面法 相平面法是推广应用时域分析法的一 种图解分析方法。相平面法适用于分 析一、二阶线性或非线性系统。 l 2.描述函数法 描述函数法一种图解分析法,是一种工程近似方法。该方 法对于满足结构要求的一类非线性系统,通过谐波线性化, 将非线性特性近似表示为复变增益环节,分析非线性系统 的稳定性或自激振荡。 l 3.李亚普诺夫第二法
6. l 4.逆系统法 逆系统法是运用内环非线性反馈控制,构成伪线性 系统,并以此为基础,设计外环控制网络。该方法 应用数学工具直接研究非线性控制问题,不必求解 非线性系统的运动方程,是非线性系统控制研究的 一个发展方向。
7. 7.1.3 常见的非线性特性及其对系统的影响 常见非线性特性: 死区(不灵敏区)特性 饱和(限幅)特性 间隙(滞环)特性 继电器特性
8. 常见的非线性特性 ——死区(不灵敏区)非线性 y k  0  0 , y  k (x- sgn x) , 影响:①提高抗扰性能  x x  x > ②增大稳态误差
9. 常见的非线性特性 ——饱和(限幅)非线性 y a k 0  kx , x  ka sgn x 影响:①增益降低稳定性提高 a x x a x >a ② 快速性和稳态精度下降
10. 常见的非线性特性 ——间隙非线性 y a -b 0 k b x -a k (x  b)  y  k (x  b) a sgn x  影响:①降低稳定裕量 y&  0 & y<0 y&  0 ② 稳态精度下降
11. 常见的非线性特性 —— 继电特性 理想继电特性 具有死区继电特性 具有滞环的 继电特性 继电特性
12. 继电特性 数学表达式 M M  0 y 0  M   M x  mh, x&  0 xh - h  x  mh, x&  0 -mh  x  h, x&  0 x  -mh,x&  0 x  -h 式中,h为继电器吸合电压,mh为释放电压,M为饱和输出。 理想继电特性 有死区继电特性 M , y  M , 0 , y  M sgn x , x0 x0 x  x 
13. 7.2 描述函数法 7.2.1 描述函数的基本概念 1. 描述函数的定义 非线性系统可变换为如图所示结构: r(t) x(t) N( A) y(t) 设非线性环节输入输出描述为: y  f (x ) 当 x ( t )  A sin  t 一般,y(t)是一个非正弦周期函数。将y(t)按傅立叶级数展开:  y (t )  A0   ( An cos n t  B n sin n t ) n 1   A0   Yn sin( n t   n ) n 1 G(s) c(t)
14. 其中: A  1 0 2 2 1 2 An   1  y ( t ) d t 0  y ( t ) cos n  td  t 0 2 Yn  An 2  Bn 2 An n Bn  y (t ) sin n td  t (n  1,2, )  0 An  n  arctan Yn  An2  Bn2 Bn Bn  其中,A0为直流分量; Yn sin( nt   n ) 为第n次谐波分量。 若非线性元件具有中心对称性质,则 y (t ) 为奇函数,A0=0;如果线 性部分具有良好的低特性,可对y(t)中的高次谐波分量起到滤波作用。则 y (t )  A1 cos  t  B1 sin  t  Y1 sin(  t   1 )  Y 1  Y1e j1  B1  jA1
15. 表明,非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。 为此,定义正弦输入信号作用下,非线性环节输出量的基波分量和输入信 号的复数比为非线性环节的描述函数。用N(A)表示:  定义: Y1 Y1 N ( A)    e A X j 1 B 1  jA1  A 由于N(A)描述了非线性环节输出量的基波和输入正弦信号的幅值和相 位关系,又称为非线性环节的等效幅相特性。 由于描述函数是在只考虑基波分量,忽略高次谐波分量后得到的结果, 所以这种近视处理方法又称为“谐波线性化法”。 用函数描述法分析非线性系统的基本条件: 1)非线性部分输出中的高次谐波振幅小于基波幅值; 2)线性部分的低通滤波性能很好。
16. 2. 描述函数的求取步骤 1) 取输入信号为 x ( t )  A sin  t ,根据非线性环节的静态 特性绘制出输出非正弦周期信号的波形,根据波形写出输出y(t) 在一周期内的数学表达式。 2)据非线性环节的静态特性及输出y(t)的数学表达式,求 相关系数A1、B1。若非线性特性中心对称,则y(t)具有奇次对 称性,A0=0 。输出的基波分量为: 1 A1   2  B1  y (t ) cos tdt 0 1  3) 用下式计算描述函数。 N ( A)  B 1  jA1 A 2  y(t )sin tdt 0
17. 7.2.2 典型非线性特性的描述函数 *理想继电器特性 0  t     t  2 M y (t )    M 其输出是一个奇函数,对于任何奇函数,A1= 0。 y(t)的一次谐波分量是: B1   1   2M  2 y ( t ) sin  td ( t )  0   0 sin  td ( t )   N ( A)  B1 4M  A A 4M  2    0 y ( t ) sin  td ( t )
18. *饱和特性 数学表达式: kA sin t  y (t )   ka 式中: 0  t      t  2 Q kA sin   ka   arcsin a A A  A2  a 2 a
19. y (t ) cos  t 的波形具有奇次对称性,A1=0。 B1    1  4   2 0 y ( t ) sin  td  t   [  kA sin  td  t  2 0   2 4    2 0 y ( t ) sin  td  t ka sin  td  t ] 4 kA  1 a (  sin 2  cos  )  2 4 A 2 kA     arcsin a  a A A   2  a   1    A   饱和特性的描述函数为: B 2k N ( A)  1  A  2  a a a    arcsin  1   A A   A      Aa
20. * 死区与滞环继电特性 数学表达式:  0,  y (t )   M ,  0,  1 0<  t <  1  1<  t <  2  2<  t <  h  arcsin A mh  2   - arcsin A
21. y(t)为奇对称函数,而非奇函数,故 A1  1   B1   2 0 2M  2   0 2M y (t )costdωt  2   (sin 2  sin 1 )  y(t)sintdt  2 2 1 Mcos tdt 2Mh ( m-1) A 2   1 Msintdt (cos1  cos 2 )  2 2 2M   mh h  1-    1-    =    A  A    死区滞环继电特性的描述函数为: 2 2 2M  mh  h  2Mh    1-  N ( A)=   1 -     j 2 (m - 1) A  A  A   A   
22. 理想继电特性(h=0 ) N ( A)  4M A 死区继电特性(m=1) 4M N ( A)  A 2  h  1   , A  h  A 滞环继电特性 2 4M 4 Mh h N ( A)= 1-   - j A A 2  A
23. 实际上,当用描述函数法分析非线性系统时,经 常使用的是非线性环节在复平面上的负倒描述函数特 性  1 N ( A) 的曲线。 例如,理想继电特性的描述函数 其负倒描述函数 1 A   N ( A) 4M 1 A  0,  0 N ( A) A  ,  1   N ( A) 得负倒描述 函数曲线 N ( A)  4M A Im A   1 N ( A) 0 Re 表7-1列出了一些典型非线性特性的描述函数、负倒描述函数曲线。
24. 7.2.3 非线性系统的简化 1. 非线性特性的并联 N(A)=N1(A)+N2(A) 2. 非线性特性的串联 串联非线性特性总的描述函数不等于两个非线性特性描述函数的乘积。 可根据两个串联非线性环节的输入输出特性,求出总的等效非线性, 再求等效非线性的描述函数N(A)。 y x  k1  x x1 s y y k2 y s x x a  k y  a x k  k1k2 , a    s k1
25. 3.线性部分的等效变换 对于非线性系统中有多个线性环节时,需要在非线性环节的输入输出 关系不变的原则下,按线性系统结构图等效变换原则简化线性部分。 G1 G2 G2 N N G1 G 2 N G1 a) G1 G1 G2 G2 N G2 1  G1G2 N N b)
26. 7.2.4 非线性系统稳定性分析的描述函数法 如果非线性控制系统满足非线性系统描述函数法分析的条件, 则可利用线性系统的频率响应法,分析非线性系统的稳定性。 1. 非线性系统的稳定判据 当非线性特性采用描述函数N(A)近似 r(t) x(t) N( A) y(t) G( j) c(t) 等效时,如图所示系统的闭环特征方程为: 1  N ( A)G ( j )  0 即: G ( j )   1 N ( A) 1 称  N ( A) 为非线性环节的负倒描述函数。在复平面上绘制负倒描述函数曲线 时,曲线上箭头表示随A增大的变化方向。 G ( j ) 就是系统线性部分的频率特性, 1 相当线性系统的(-1,j0) 点。 N ( A)
27. 非线性系统的稳定判据: 若线性部分开环频率特性是稳定的,则 1) 如果 G ( j ) 曲线 不包围 2) 如果 G ( j ) 曲线包围 3) 如果 G ( j ) 曲线与 期运动。  1 N ( A) 1 N ( A) 1 N ( A) 线,则非线性系统是不稳定的。 曲线相交,则在非线性系统中产生周 j  j 1 N ( A) A 0 0    G ( j ) 1) 线,则非线性系统是稳定的。 G ( j )  A  1 N ( A) 2) 3)
28. 2. 非线性系统存在周期运动时的稳定性分析 系统处于周期运动时,如果该周期运动能够维持,即考虑外界小扰动作用 使系统偏离该周期运动,当该扰动消失后,系统的运动仍能恢复原周期运动, 则称为稳定的周期运动,即自持振荡。振荡的振幅由交点处  1 曲线对应的A N ( A) 值决定,振荡的频率由交点处G(jω)曲线对应的ω值决定,该交点称为自振点。 否则,为不稳定工作点。 如图7-12所示系统, N10点为不稳定工作点,N20点为自振点。 周期运动稳定性判据: 在 G ( j ) 曲线和  1 N ( A) 曲线的交点处,若  1 N ( A) 曲线沿着振幅A增加的方向由 不稳定区域进入稳定区域时,该交点为自振点。反之,若  1 曲线沿着振幅A N ( A) 增加的方向在交点处由稳定区域进入不稳定区域时,该交点为不稳定工作点。
29. 例7-1 设具有饱和非线性特性的控制系统如图所示, 其中饱和非线性的参数k=2,a=1,试分析: 1) 2) 非线性系统的稳定性; 若系统有自振,计算自振频率和振幅。 解: ① 非线性部分 饱和非线性描述函数为: 2k  a a a 2 N (A)  1-( )   arcsin    A A A  Aa
30. 负倒描述函数: A  a,  1  N ( A)   a a a 2 2k arcsin  1- ( )  A A A   1 1    0.5 N ( A) k A  ,  1   N ( A) 作负倒描述函数曲线如图。 ② 线性部分 A ( )  15  (0.1 ) 2  1 (0.2 ) 2  1  ( )  90  arctan 0.1  arctan 0.2 G ( j 0  )    90 G ( j )  0  270 可见 G ( j ) 曲线与实轴有交点,计算交点: 令()=-180,   50  7.07 [A () ]  7.07  1 j  1 N ( A) A 0.5 0 
31. ③ 确定稳定性 1 由图可见,G(jω)曲线与 N ( A) 曲线存在交点(-1,j0)。 1  在该交点处, 曲线沿着振幅A增加的方向由不稳定区域进 N ( A) 入稳定区域,故该交点为自振点。 自振荡频率为交点处G(jω) 对应的频率,即 求自振荡振幅: 令 1   N (A)   a a a 2 2k arcsin  1-( )  A A A   用试探法,可解得:A = 2.5 =-1   7.07 1/ s
32. 7.3 相平面法 7.3.1 相平面的基本概念 相平面法——是一种二阶微分方程的图解法。 此法即可用于线性二阶系统,也可用于线性部分是二阶的非线性系统。 设二阶系统的微分方程 x&& f ( x, x&) 来描述,其中 f ( x, x&)为 x 和 x& 的线性函数或非线性函数。上式所示系 统的时间解可用 x 与 t 的关系图来表示,也可以 t 为参变量,用 x 和 x&这两个相变量的关系图来表示。 以x为横坐标,x&为纵坐标构成的直角坐标平面称为相平面,t 作为参变 量在相平面上并不出现。 当时间t 变化时,相变量在相平面上运动形成的一条表征系统状态 变化过程的曲线——称为相轨迹。
33. 例:二阶系统的 x 和 x& 曲线为 x 0 x& t1 t2 t3 t4 t5 0 t1 t x 其对应的在 相平面上的 曲线为: t4 t5 t1 t4 t5 t 这种曲线称为系统在某一 t3 t2 t2 t3 t  0 初始条件下的相轨迹。 由于 x 系统的初始条件可有无穷多个, 因此相应的相轨迹也有无穷多 条, 这无穷多条相轨迹构成的 相轨迹簇叫相平面图。
34. 7.3.2 绘制相轨迹的方法 1.解析法 解析法——根据系统的微分方程求出相轨迹方程,然后由相轨迹方程 绘制相平面图。此方法仅用于简单的一﹑二阶线性系统或分段线性系统. 如可通过积分法,直接由微分方程求解 x(t ) 和 x (t ) 的解析关系式。 dx& dx& dx dx& x&&    x& dt dx dt dx 因为: 若可以将 x&& f (x, x&) 分解为 g ( x&) dx&  h(x )dx 则可以两端同时 求定积分  x& x&0 x g ( x&)dx&   h(x)dx x0 由此可解得以( x0 ,x&0 )为初始条件的 轨迹方程。 x& 和 x 的解析关系式,即相
35. 例如:二阶系统系统的微分方程为 x&& 2 n x&  n 2 x  0 可变换成 dx& x&  2n x& n 2 x dx 对于无阻尼情况(  0)上式可变成 dx& x&  n 2 x dx 2 分离变量并积分,得 x& 2 2  x  A n 2 A是由初始条件决定的积分常数。对于不同的初始条件,它表示的 运动轨迹是一族同心的椭圆。 &  2, n   时: 如当 x (0)  0,x(0) x&2   2 x 2  4 还可以直接解微分方程求解x,然后求dx/dt,并消去t。
36. 2. 等倾线法 由式 dx&  f ( x, x&) dx dx& f (x, x&)  dx x& x& 可得 方程实际给出了相轨迹在相平面上任一点处(x, x&) 切线的斜率。若取 斜率为某一常数  ,则上式可改写为 x&  f (x, x&)  —— 称为等倾线方程 由等倾线方程可在相平面上作一条曲线,称为等倾线,当相轨迹经过 该曲线上任一点时,其切线的斜率都相等,均为  。给定不同的 可 在相平面上绘制出若干条等倾线,在等倾线上各点处作斜率为  的短直 线。由给定的初始点 (x0 , x&0 ) 便可沿各条等倾线所决定的相轨迹的切线 方向依次画出系统的相轨迹。
37. 例7-3 已知系统的微分方程为 x&& x& x  0 当初始条件 为 x (0)  0 、x&(0)  4 时,绘制系统的相轨迹。 dx& x&  x& x  0 dx 解:系统方程可改写为 令 dx&   可得相轨迹的等倾线方程 dx x&  x 1  x  kx  1  1 可见,等倾线方程是一条通过原点且斜率等于 k  其中   k 是通过等倾线处相轨迹斜率。取  为不同的值,有 -1 -1.2 -1.4 -1.8 -2 -2.5 -3 -6 ∞ 1 的直线,  1 5 2.5 1.25 1 0.67 0.5 0.2 -∞ 0 9 4 2 1 0 -0.1 -0.2 -0.33 -0.5 -1 以此可作出  取不同值时的等倾线,以及等倾线上表示斜率为 的许多的许多短直线。 
38. 从A点出发顺着切线方 向将各短直线光滑地连接起 来,就得到了一条从A点出 发的相轨迹。如图: 注意点: 1)坐标轴应选用相同; 2)在相平面的上半平面,x&  0 相轨迹的走向是由左向右;在相 平面的下半平面, x&  0 相轨迹 的走向是由右向左; 3)除平衡点外,相轨迹与x轴垂 直相交。
39. 7.3.3 奇点和极限环 1. 奇点 相轨迹上每一点切线的斜率为 若相平面上某点满足 dx& f (x, x&)  dx x&  f (x, x&)  0   x&  0 dx& 0 即有 dx  0 的不定形式,则称该点为相平面的奇点。 相轨迹在奇点处的切线斜率不定,表明系统在奇点处可 以按任意方向趋近或离开奇点,因此在奇点处,多条相轨迹 相交。而在相轨迹的非奇点(称为普通点)处,相轨迹的切线 斜率是一个确定的值,故经过普通点的相轨迹只有一条。 由于在奇点处的速度和加速度都为零,故奇点与系统的 平衡状态相对应。奇点一定位于相平面的横轴上。
40. 设描述二阶系统自由运动的线性微分方程 为: x&& 2n x& n2 x  0 将上列方程改写成: 2n x& n 2 x dx&  dx x& 上式代表描述二阶系统自由运动的相轨迹各点处的斜 率。从式中看出在 x=0 及 x&  0 ,即坐标原点(0,0)处的 斜率 dx&/ dx  0/0 ,这说明,该点二阶系统唯一的奇点。
41. 根据特征方程根的不同形式,相平面图将以不同的 型式趋向奇点,或由奇点向外发散出去。有6种类型: s1,s2为共轭复数根,位于s平面的左半部,奇点为稳定焦点; s1,s2为共轭复数根,位于s平面的右半部,奇点为不稳定焦点; s1,s2一对实根,位于s平面的左半部,奇点为稳定节点;
42. s1,s2为一对实根,位于s平面的右半部,奇点为不稳定节点; s1,s2为共轭虚根,位于虚轴上,奇点为中心点; s1,s2为实根,一个位于左半平面,一个位于右半平面,奇点 为鞍点。
43. 2. 极限环 相平面图中孤立的封闭轨迹定义为极限环,或称“奇线”。极限 环的位置和形式与相平面存在的奇点共同确定了二阶非线性系统的所有 运动状态和性能。 根据极限环邻近相轨迹的运动特点,可将极限环分为三种类型: (1) 稳定极限环 ——具有稳定的周期运动,自振荡
44. (2)不稳定极限环 ——具有不稳定的周期运动 (3)半稳定极限环
45. 7.3.4 由相平面求时间解 为了分析与时间有关的系统性能指标,经常需要由相轨迹求 出系统的时间解。 1. 根据相轨迹的平均斜率求时间t x& 设系统的相轨迹如图所示。考虑到x 的微小增量△x及时间△t,则状态由A点转 移到B点的平均速度为 x&AB  x xA  xB  t t AB 可求得系统的状态由A转移到B所需要的时间 t AB x A  xB  x&AB x&A x&AB x&B x&BC 0 A B C xA xB xC x
46. 1 x& 2. 用面积法求时间t C B 由 x&  dx / dt 即有 A 1 dt  dx x& 0 xA xB x 当图所示系统的状态由A转移到B所需要的时间 tB  t A   xB xA 如果以 等于曲线 1 dx x& 1 为纵坐标以x为横坐标,重新绘制相轨迹,则时间间隔 x& t B  t A 与x轴之间包含的面积,如图的阴影部分。
47. 7.3.5 非线性系统的相平面法分析 大多数非线性系统所含有的非线性特性具有分段特性。 用相平面法分析这类系统时,常将整个相平面分成若干 个区城,使每一个线性微分方程在相平面上对应着一个区域。 这类非线性特性曲线的转折点,构成了相平面区域的分界线, 称为开关线。 只要作出每个区域内的相轨迹后,在开关线上把相应的 相轨迹依次连接起来,就可得出系统完整的相轨迹图。 对应于每个分区域,如果奇点位于该的区域以内,则该 奇点为“实奇点”;如果奇点位于相应区域之外,则表示这 个区域内的相轨迹实际上不可能到达该平衡点,称为“虚奇 点”。一个系统一般只可能有一个实奇点。
48. 例7-5 设具有饱和特性的非线性控制系统 如图所示。给定参数T=0.5,K=0.25。设 r 系统初始状态为零,试用相平面法分析系统 在阶跃输入作用下的响应特性。 解: 线性部分的微分方程为 e 10 y 1 K s(Ts1) Tc&& c&  Ky e  r  c, c  r  e 微分方程可表示为: Q r&& r& 0 根据饱和非线性特性,有 Te&& e& Ky  Tr&& r&  Te&& e& Ky  0 0.5e&& e& 2.5  0  0.5e&& e& 2.5e  0 0.5e&& e& 2.5  0  e  1 e 1 e 1 c
49. 线性区系统方程为线性二阶微分方程,其特征根s1,2=-1±j2, 为欠阻尼情况。
50. 负饱和区和正饱和区的等倾向方程为: 5 2  5 e&  2  e& e  1 e 1
51. 由零初始条件和输入 r (t )  R0  1(t ) ,得 e(0)  R0 , e&(0)  0 设R0=3可绘制系统的相轨迹如图①所示,曲线②为无限幅时特性。
52. 例7-6 含有死区继电特性的非线性系统如图7-24所示。绘制零 初始条件时,阶跃输入 r (t )  R  1(t ) 系统的相轨迹,并分析系统的 运动特点。 y r 解:线性部分的微分方程为 e Tc&& c&  Ky M h y h e M Q e  r  c, c  r  e 可得: Te&& e& Ky  Tr&& r& Q r&& r& 0 根据死区继电特性,得系 统的分段线性方程为:  Te&& e& Ky  0 Te&& e& KM  0  Te&& e& 0 Te&& e& KM  0  e  h e h eh K s(Ts  1) c
53. 被开关线分成3个区域的等倾线方程分别为  KM T  1 1   T e& I区,e  h II区, e h III区, e  h e& ——相轨迹为一组斜率为-1/T的直线 KM T   1 ——等倾线方程是一组水平直线 Ⅲ  0 ——等倾线方程是一组水平直线(负) e& Ⅱ Ⅰ   e&  KM 1 T o e e&   0.5 KM e&   KM e  h eh  1 T  0
54. 在阶跃输入作用下,系统的相轨迹由初始点A e(0)  R, e&(0)  0 出发,经B、C、D、E、F等区间切换点,最后收敛到点G。 由图可知,由于死区非线性特性的存在, 有稳态误差 ess 存在。 最后不能衰减到零, e& Ⅱ Ⅲ  0 e Ⅰ D e& KM G C E o ess e F B e  h ( R, 0) A eh  0 e&  KM
55. 7.4 非线性特性的利用 l 在控制系统中引入特殊形式的非线性元 件能使系统的控制性能得到改善。 l 在某些系统中往往用一些极为简单的装 置便能使系统的控制性能得到大幅度的 提高,成功地解决了系统快速性和振荡 度之间的矛盾。但若采用线性补偿装置 来达到同样的效果时,其形式将十分复 杂。
56. 非线性补偿控制 变增益非线性控制
57. 7-5 基于Simulink的非线性系统分析 l MATLAB中的Simulink提供了一些常用的非线性仿真模块,利用这些模 块可以形象、直观、方便地对非线性系统进行分析。 l 非线性模块库在Simulink模块库中又称为不连续模块 (Discontinuties),模块库的内容如图所示。该模块库中主要包含 常见的非线性模块,如饱和非线性模块(Saturation),死区非线性 模块(Dead Zone),继电非线性模块(Relay),磁滞回环模块 (Backlash)等。
58. l 例7-7 具有继电器特性的非线性系统如图7-31所示,输入为 阶跃信号,试利用Simulink在平面上作出相轨迹。 r 解 e 1 0.2 y K s(Ts1) 0.2 c 建立的simulink仿真模型为: 1 Step Relay du/dt Derivative s(s+1) Zero-Pole XY Graph Scope
59. l 仿真时间取8秒,启动仿真后在X-Y绘图仪将显示出系统在平 面的相轨迹。图7-33a是输入信号为单位阶跃时的相轨迹,图 7-33 b是输入信号为 r (t )  0.2  1(t ) 时的相轨迹。 a) b)
60. l 从仿真结果看出,系统存在一个封闭的相轨迹。由于在 它外面和里面的相轨迹都逐渐趋近它,所以这条封闭曲 线是一个稳定的极限环,它对应一个自持振荡。不论初 始条件如何,该系统都产生自持振荡,振荡的周期和振 幅仅取决于系统的参数.而与初始条件无关。