自动控制原理-第8章 采样系统

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2020/09/14 发布于 教育 分类

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1. 第8章 采样控制系统分析 l l l l l l l 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 采样控制系统的基本概念 采样控制系统的数学基础 脉冲传递函数 采样控制系统的动态性能分析 采样控制系统的稳定性分析 采样控制系统的稳态误差分析 MATLAB用于采样系统分析结 1
2. 8.1 采样控制系统的基本概念 Ø 8.1.1 采样控制系统及其基本结构 Ø 8.1.2 采样过程与采样定理 Ø 8.1.3 采样信号的复现 2
3. 8.1.1 采样控制系统及其基本结 构 在离散系统中至少有一处或几处的信号是时间的离散函 数,称其为离散信号。 通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统, 称为采样控制系统或脉冲控制系统;而把数字序列形成的离 散系统,称为数字控制系统或计算机控制系统。 3
4. 在图8-1的系统中,如果用计算机来代替脉冲控制器, 实现对偏差信号的处理,就构成了数字控制系统,也称为 计算机控制系统。它是采样控制系统的另一种形式。 4
5. 8.1.2 采样过程与采样定理 1. 采样过程 通过采样开关,将连续信号转变成离散信号,这个过程 称为采样过程。 采样开关的作用如图所示。采样开关每隔时间T闭合一 次,T称为采样周期。采样开关每次闭合的时间为τ,一般, τ<<T。 5
6. 2. 采样函数的数学表示 连续信号e(t)经过采样后变成了一脉冲序列e*(t) 。 采样过程实际上可视为理想脉冲序列δT(t)对e(t) 幅值 的调制过程。采样开关相当于一个载波为δT(t) 的幅值调制 器,其数学表达式为:  T (t )     (t  kT ) k  采样函数e*(t) 可通过下式求得  e (t )  e(t ) T (t )  e(t )   (t  kT ) * k  在实际控制系统中,当 t < 0 时,e(t) = 0,所以有   e* (t )  e(t )  (t  kT )   e(t ) (t  kT ) k 0 k 0 6
7. 理想采样过程 离散信号仅在采样时刻有效,故采样函数可表示为:  e (t )   e(kT ) (t  kT ) * k 0  e(0) (t )  e(T ) (t  T )  e(2T ) (t  2T )  L 7
8. 2.采样定理 连续信号e(t)经过采样后,变成一个脉冲序列e*(t),由于 脉冲序列只含有采样点上的信息, 而丢失了各采样时刻之间的 信息。为使离散信号e*(t) 不失真地反应原连续信号e(t)的变 化规律 ,必须考虑采样角频率ωs与e(t)中含有的最高次谐 波角频率ωmax之间的关系。通过对e(t) 与e*(t) 的频谱分析 可知,为了复现原信号e(t) 的全部信息,要求采样角频率ω s必须满足如下关系:  s  2 max 这就是采样定理,又称香农(shannon)定理,它指 明了复现原信号所必须的最低采样频率。 8
9. 8.1.3 采样信号的复现 信号的复现——为了实现对受控对象的有效控制,把采样 信号恢复成相应的连续信号的过程称为信号的复现。 保持器——将采样信号准确地复现为原来的连续信号的装 置。在采样控制系统中最简单、应用最广泛的是零阶保持器。 零阶保持器采用恒值外推原理,它把前一采样时刻的采 样值一直保持到下一个采样时刻,从而使采样信号变为阶梯 信号,在kT≤t ≤( k+1)T期间, eh (t )  e(kT。) 9
10. 零阶保持器的传递函数 Gh (s) 零阶保持器的脉冲响应为: g h (t ) 1 0 0 T 即: 1 g h (t ) t T t 1 g h (t )  1(t )  1(t  T ) 1 1 Ts 1  e Ts Gh ( s)   e  s s s 10
11. 8.2 采样控制系统的数学基础 l l l l l 8.2.1 z变换的定义 8.2.2 求z变换的方法 8.2.3 z变换的基本定理 8.2.4 z反变换 8.2.5 差分方程及其求解 11
12. 8.2.1 z变换的定义  f (t )   f (t ) (t  kT ) 对离散函数 * 求拉氏变换: k 0   F ( s )   [ f (t ) (t  kT )]e  st dt * 0 k 0      f (kT )  (t  kT )e dt   f (kT )e kTs k 0  st 0 k 0 其中e  kTs 为超越函数,引入新变量 z  eTs 则有  F ( z )   f ( kT )z  k k 0 称 F (z ) 为 f * (t ) 的z变换,并记作 F ( z )  Z [ f * (t )] 12
13. 8.2.2 求z变换的方法 1.级数求和法 根据定义式展开,即  F ( z )   f (kT )z  k k 0  f (0) z 0  f (T ) z 1  f (2T ) z 2  f (3T ) z 3  2.部分分式展开法 将F(s)展开成部分分式之和的形式,然后对各个分 式求z变换,其和即为F(z) 。 13
14. 例8-4 已知 F s   解 F (s)  其中 s3 求原函数f(t)的Z变换式F(z)。 s  1s  2 s3 A1 A2 2 1     ( s  1)( s  2 ) s  1 s  2 s 1 s  2 A1  F ( s )  ( s  1) s  1 s3  s2 A1  F ( s )  ( s  2) s  2 s3  s 1 s  1 2 s  2  1 2z z z ( z  2 e 2T  e  T ) F (z)    T 2T ze ze ( z  e  T )( z  e  2 T ) 14
15. 8.2.3 z变换的基本定理 1.线性定理 Z a1 f1 (t )  a 2 f 2 (t )  a1 F1 ( z )  a 2 F2 ( z ) 2.滞后定理 Z  f (t  k1T )   z  k F  z  1 3. 超前定理 Z  f (t  k1T )  z k1 F ( z)  z 4. 位移定理 Z  f t e  at   F ze  aT  k1 k1 1  f (kT )z  k k 0 f (t )  lim F ( z ) 5. 初值定理 lim t 0 z  f (t )  lim(1  z 1 ) F ( z )  lim( z  1) F ( z ) 6. 终值定理 lim t  z 1 z 1 15
16. 8.2.4 Z反变换 由Z变换函数求其相应的离散函数,称为Z反变换,记为: Z 1 [ F ( z )]  f  (t )  f ( nT ) Z反变换只能求出离散函数 f  (t )或f (nT ) , 而不能求出连续函数 f (t ) 1.长除法 将F(z)按升幂级数展开为: F ( z )  c 0  c1 z 1  c 2 z 2   对照z变换的定义式,可知 f (0)  c0 , f (T )  c1 , f (2T )  c 2 , 得采样后的离散信号:f * t   c0 t   c1 t  T   c2 t  2T    16
17. 2.部分分式法 用部分分式法求z反变换与求拉氏反变换的思路类同。 由于F(z)的分子中通常含有变量z,为了方便求z反 变换,通常先将F(z)除以z,然后将F(z)/z展 开为部分分式,再把展开式的每一项都乘上z后,分别求 z反变换并求和。 3.留数法 和拉氏反变换相似,可以用留数法求z反变换 17
18. 0.5z 例 求 F( z)  2 的z反变换 f * (t ) 。 z 1.5z  0.5 解1(长除法): 用直接除法将化成级数形式: F ( z )  0  0.5z 1  0.75z 2  0.875z 3   即 f (0)  0, f (T )  0.5, f (2T )  0.75, f (3T )  0.875,  f  ( t )  0  0 .5 ( t  T )  0 .75 ( t  2T )  0 .875 ( t  3T )   用长除法只 能求得有限 项值。 18
19. 解2(部分分式法): F (z)  0.5 z 0.5 z  z 2  1.5 z  0.5 ( z  1)( z  0.5) F ( z) 0 .5 1 1    z ( z  1)( z  0.5) z  1 z  0.5 F ( z)  即 z z  z  1 z  0 .5 f (kT )  1  0.5k k  0,1, 2... 用部分分式 法能求得任 意采样时刻 的值 f * (t )  f (0) (t )  f (T ) (t  T )  f (2T ) (t  2T )    0  0.5  (t  T )  0.75 (t  2T )   19
20. 8.2.5 差分方程及其求解 1.差分的定义 离散函数两数之差为差分。 差分又分为前向差分和后向差 分,如图。 2.差分方程 如果方程中除了含有f(k)以外,还有f(k)的差分,则此 方程称为差分方程。一般系统的差分方程表达式为 c(k  n)  a1c(k  n  1)    a n 1c(k  1)  a nc(k )  b0 r ( k  m)  b1r ( k  m  1)   bm 1r ( k  1)  bm r ( k ) ( n  m) 20
21. 例8-14 求如图所示系统的差分方程。 解 为一阶系统,其一阶微分方程为 dc (t )  Ke(t )  Kr (t )  Kc (t ) dt R(s) e(t ) K 1 s C (s) dc (t )  Kc (t )  Kr (t ) dt 用差分方程来近似表示微分方程,称为离散化。令 R (s) e(t) K1 C (s) s dc (t ) c( k  1)T   c( kT )  dt T 代入原方程 整理得 , t  kT (k  1, 2,3, L ) c( k  1)T   c( kT )  Kc ( kT )  Kr ( kT ) T c(k  1)T   (kT  1)c(kT )  KTr (kT ) 21
22. 3.用z变换解差分方程 用z变换求解差分方程与用拉氏变换求解微分方程类似。 例8-16 用z变换求差分方程 c (k  2)  3c (k  1)  2c (k )  1(k ) 。 初始条件:c(0)  0, c(1)  1。 解 1)求差分方程的z变换,得: [ z 2 C ( z )  z 2 c (0)  zc (1)]  3[ zC ( z )  zc (0)]  2C ( z )  2 z 考虑初始条件后,有: ( z 2  3z  2)C ( z )  z 1 z z 1 z2 z2 z 6 z 2 2z 3 C  z      2  z  1  z  3z  2  z  1 z  1 z  2 z  1 z  1 z  2 1 6 1 2 2 3 2)求z反变换,得: c  kT   1   1   2  k k k k  0,1, 2,..... c* (t )   (t  T )  2 (t  2T )  5 (t  3T )  10 (t  4T ) L 22
23. 8.3 脉冲传递函数 l 8.3.1 脉冲传递函数的定义 l 8.3.2 开环系统的脉冲传递函数 l 8.3.3 闭环系统的脉冲传递函数 23
24. 8.3.1 脉冲传递函数的定义 脉冲传递函数——零初始条件下,离散系统或环节输 出量的Z变换与输入量的Z变换之比,即 C ( z ) Z [c  (t )] G( z)   R ( z ) Z [ r  (t )] 由于在实际的采样系统中,系统的输出是连续信号,为 了应用脉冲传递函数的概念,常在输出端假设一个同步采样 开关。 G( z) R (s) T  R (s) G (s) T C (s) C (s) 24
25. 8.3.2 开环系统的脉冲传递函数 1.串联环节间无采样开关 G( z)  C( z)  Z [G1 ( s )G2 ( s )]  G1G2 ( z ) R( z ) 25
26. 2.串联环节间有采样开关 G( z)  例如:G1 ( s )  1 , s G2 ( s )  C ( z)  G1 ( z )G2 ( z ) R( z ) 1 sa  1  z(1  eaT ) G1G2 ( z)  Z     aT s ( s  a ) a ( z  1)( z  e )   z z z2 G1 ( z )G2 ( z )     aT z 1 z  e ( z  1)( z  e aT ) G1 ( z )G2 ( z )  G1G2 ( z ) 26
27. 3.带零阶保持器的开环脉冲传递函数  Ts G1 ( s )  Ts 1   G ( z )  Z (1  e )  Z (1  e ) G ( s )  (1  z )G2 ( z ) 2    s   其中: G1 ( s ) G2 (s)  s 27
28. 8.3.3 闭环系统的脉冲传递函数 1) 常见结构采样系统 C (z)  R ( z )G ( z ) 1  GH ( z ) 闭环系统脉冲传递函数为: C (z) G (z)  (z)   R ( z ) 1  GH ( z ) 28
29. 2)对于未设置采样开关对误差信号e(t)进行采样的 系统,只能求出其输出的象函数C(z),而无法求得系统的 闭环系统脉冲传递函数。 RG1 ( z )G 2 ( z ) C ( z)  1  G1G 2 H ( z ) 29
30. 例8-21 系统的结构如图所示,试求系统的脉冲传递函数 C ( z)  R( z )G1 ( z )G2 ( z ) 1  G1 ( z )G2 ( z ) H ( z ) 例8-22 系统的结构如图所示,求系统的闭环脉冲传递函数。 C ( z)  R( z )G1 ( z )G2 ( z ) 1  G1 ( z )G2 ( z )  G2 H ( z ) 30
31. 8.4 采样控制系统的动态性能分析 l 8.4.1 采样系统的动态响应分析 l 8.4.2 闭环极点的位置与动态特性的关系 31
32. 8.4.1 采样系统的动态响应分析 分析系统的动态响应的方法: ⑴已知系统的结构和参数----求出对应的闭环传递函数; ⑵求出输出量的Z变换C(z)(输入给定)---求输出c(KT); ⑶画出曲线C(KT) ----分析系统的动态特性和稳态特性. 采样系统的结构如图。 设: 1 K  1, R(s)  , T  1s s  1  z (1  e T ) G( z)  Z    T  s ( s  1)  ( z  1)( z  e ) z (1  e T ) C ( z) G( z) z (1  e T ) 0.632 z ( z  1)( z  e T )     z (1  e T ) R( z ) 1  G ( z ) ( z  1)( z  e T )  z (1  e T ) z 2  0.736 z  0.36832 1 ( z  1)( z  e T )
33. C z   C ( z)  R( z ) R( z ) 0.632 z z  z 2  0.736 z  0.368  z  1  0.632 z 1  1.097 z 2  1.207 z 3  1.12 z 4  1.014 z 5  0.96 z 6   系统输出的离散信号: c* (t )  0.632 (t  T )  1.097 (t  2T )  1.207 (t  3T )  1.12 (t  4T ) 1.014 (t  5T )  0.96 (t  6T )  L 可见,系统为衰减振荡响应。 最大超调量 调整时间  p  20% t s  5T (   5%) 1.4 c  (t ) 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T t 33
34. 8.4.2 闭环极点的位置与动态特性的关系 采样控制系统的性能分析类似于连续系统,系统的输出特 性主要由闭环脉冲传递函数的极点来确定,下面主要讨论在单 位阶跃信号作用下,系统的输出特性和闭环极点的关系。 设系统闭环脉冲传递函数为 C ( z ) b0 z m  b1 z m1    bm 1  bm ( z )   R( z ) a0 z n  a1 z n1    an 1 z  an ( n  m) 设闭环极点为z1,z2,z3,……zn,在单位阶跃输入时,输 出的z变换为 b0 z m  b1 z m1    bm 1  bm z C  z    z  z1  z  z2  z  zn  z 1 34
35. 展开成部分分式: A0 z An z A1 z C z   L  z  1 z  z1 z  zn 对上式取Z反变换,求得输出响应为 n c(kT )  A0 1(kT )   Ai ( z i ) k i 1 稳态项 暂态项 35
36. 1.闭环极点为实数极点 负实数极点 正实数极点 2.闭环极点为复数极点 36
37. 8.5 采样控制系统的稳定性分析 l 8.5.1 z平面内的稳定条件 l 8.5.2 劳斯稳定判据 37
38. 在单位阶跃输入下,采样系统的闭环输出可表示为 n c(kT )  A0 1(kT )   Ai ( z i ) k i 1 如果系统是稳定的,则当t趋于无穷大时(相当于k趋 于无穷大),系统输出的瞬态分量趋于零,即 n lim  Ai ( z i ) k  0 k  i 1 采样系统稳定的充要条件是——闭环脉冲传递函数的 所有极点均位于Z平面以原点为圆心的单位圆内,即 zi  1 38
39. 由z平面和s平面的关系也可得稳定条件 z  e Ts z变量和s变量的关系 s    j 其中,s是复变量,即 Ts T ze e e jT  ze j s平面和z平面有着如下的对应关系: j [s]  1  在s平面内 稳定性 Im 在z平面内  0 稳定 z 1  0 临界稳定 z 1  0 不稳定 z 1 1 [z] 1 39 Re
40. 8.5.2 劳斯稳定判据 在采样系统中,由于稳定的边界是单位圆而不是虚轴, 所以不能直接引用劳斯判据,必须进行双线性变换: w 1 z w 1 设 则 z  x  jy 则 z 1 w z 1 w  u  jv z  1 x  1  jy x2  y 2 1 2y w    j z  1 x  1  jy ( x  1)2  y 2 ( x  1)2  y 2 当在Z平面单位圆内时有 x2  y2  1 在W平面则有 x 2  y 2  1  0 ——实部为负,左平面 40
41. 例8-25 已知采样控制系统闭环特征方程式 D( z )  45 z 3  117 z 2  119 z  39  0 试判断系统的稳定性。 解 将 z  w  1 代入特征方程 w 1 w 1 3 w 1 2 w 1 45( )  117 ( )  119 ( )  39  0 w 1 w 1 w 1 45( w  1) 3  117 ( w  1) 2 ( w  1)  119 ( w  1)( w  1) 2  39( w  1) 3  0 整理得 列劳斯表: w 3  2 w 2  2 w  40  0 w3 1 2 w2 2 40 w1 18 0 w0 40 0 第一列元素的符号变化 了二次,表示方程有二 个根在右半平面,故系 统为不稳定。 41
42. 8.6 采样控制系统的稳态误差分析 l 单位阶跃输入时系统的稳态误差 l 单位斜坡输入时系统的稳态误差 l 单位加速度输入时系统的稳态误差 42
43. 8.6 采样控制系统的稳态误差分析 单位反馈采样系统的结构如图所示: R( z) E ( z)  R( z)  C ( z)  1  G( z) 由终值定理可求得系统的稳态误差。 e* ()  lim( z  1) E ( z )  lim( z  1) z 1 z 1 R( z ) 1  G( z) 可见,采样系统的稳态误差既与输入R(z)有关,又与系统 的开环脉冲传递函数及T有关。 m 设采样系统的 开环脉冲传递 函数为: G( z)  K g  ( z  zi ) ( z  1) i 1 n v v  (z  p j 1 j ) 43
44. 1. 单位阶跃输入时系统的稳态误差 设系统的输入为 R( z )  z z 1 e* ()  lim( z  1) z 1 1 z 1 1    1  G ( z ) z  1 1  lim G ( z ) 1  K p z 1 其中,K p  lim G ( z ) ——系统的静态位置误差系数。 z 1 2. 单位斜坡输入时系统的稳态误差 设系统的输入为 e* ()  lim( z  1) z 1 R( z )  Tz ( z  1) 2 1 Tz T 1    1  G ( z ) ( z  1) 2 lim( z  1) G ( z ) K v z 1 其中,K v  1 lim( z  1)G ( z ) ——系统的静态速度误差系数。 T z 1 44
45. 3. 单位抛物线输入时系统的稳态误差 设系统的输入为 T 2 z ( z  1) R( z )  2( z  1) 3 1 T 2 z ( z  1) T2 1 e ()  lim( z  1)    z 1 1  G ( z ) 2( z  1)3 lim( z  1) 2 G ( z ) K a * z 1 其中, K a  1 2 lim( z  1) G( z) 2 z 1 T ——系统的静态加速度误差系数。 45
46. 8.7 MATLAB用于采样控制系统分析 8.7.1 数学模型处理 1.z变换和z反变换 Z变换函数——ztrans Z变换函数——iztrans F=ztrans(f) f=iztrans(F) 2.模型转换 连续模型转离散模型函数 ——sysd=c2d(sys, T) 或 sysd=c2d(sys,T,method) 离散模型转连续模型函数 ——sys=d2c(sysd,T,method) 46
47. 8.7.2 动态响应分析 1.输入函数 单位脉冲输入: u (0)  1, u (k )  0(k  0,1, 2, L ,100) u=[1 zeros(1,60)] 单位阶跃输入: u=ones(1,101) u ( k )  1 (k  0,1, 2, L ,100) 2.求输出动态响应 设采样控制系统的闭环传递函数为 C ( z ) num( z )  R( z ) den( z ) 输入信号为r 时的输出响应命令为: y=filter(num,den,r) 47